Aritmetični principi

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 0:17

Poznamo 4 osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje). In dodam še potenciranje, korenjenje, logaritmiranje.

Kdaj uporabimo posamezno operacijo?

Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?

Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?

derik
Prispevkov: 2042
Pridružen: 6.3.2010 9:04

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a derik » 15.6.2014 7:50

Rock napisal/-a:Poznamo 4 osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje). In dodam še potenciranje, korenjenje, logaritmiranje.

Kdaj uporabimo posamezno operacijo?

Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?

Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?
Zato, ker poanta ni v tem, da bi dobil MANJ, pač pa v tem, da minute RAZDELIŠ v skupine po 60 na eno uro. Sešteva in odšteva se iste enote, množenje in deljenje pa sta samo skrajšani obliki zaporednega ponavljanja iste operacije seštevanja oz. odštevanja.

Primer: Imaš 24 pločevink piva in jih hočeš zapakirati v sixpacke po 6 na en ovoj. Zanima te število sixpackov. Razdeliš na skupine po 6 in prešteješ skupine. Štirikrat PONOVIŠ odštevanje po 6 in šteješ ponovitve.

Za logaritme boš moral pa na Zajca počakati.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 10:04

derik napisal/-a:
Rock napisal/-a:Poznamo 4 osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje). In dodam še potenciranje, korenjenje, logaritmiranje.
Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?
Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?
Zato, ker poanta ni v tem, da bi dobil MANJ, pač pa v tem, da minute RAZDELIŠ v skupine po 60 na eno uro.
Mislim, da je to prispevek, ampak še vedno nisem zadovoljen.
Imaš 24 pločevink piva in jih hočeš zapakirati v sixpacke po 6 na en ovoj. Zanima te število sixpackov. Razdeliš na skupine po 6 in prešteješ skupine. Štirikrat PONOVIŠ odštevanje po 6 in šteješ ponovitve.
Rešitev glede na m. znanje je 4 (uporabim deljenje, 24 : 6).
Tvoj postopek pa je še na osnovnejši operativni ravni (besedno formulacijo spreminjaš neposredno v matematični jezik).

Mene zanima abstrakcija (princip).
Čakam torej na tvojo dopolnitev ali na Zajca ali druge.

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2602
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a GJ » 15.6.2014 10:24

Primer z logaritmi:

Imaš karo papir velikosti recimo 227 * 437 kvadratkov, če v vsak kvadratek vpišeš 0 ali 1 dobiš 2^(227*437) možnosti.
Torej: 227 * 437 = 99199.
Torej koliko pa je: 2^99199, oziroma 2 na 99199, v desetiškem seveda. :roll:

Če vzameš navaden "calculator" boš ugotovil da računa le do 99 decimalnih mest.
No tukaj sedaj uporabiš logaritme:
Najprej izračunaš razmerje med desetiško osnovo (ker nas rezultat zanima v desetiškem sistemu) in osnovo potence, ki je v našem primeru 2 (dve možnosti kvadratka).
Ln(10)/(Ln2) = 3.321928095

Nakar izračunamo cela mesta, oziroma potenco ali eksponent želenega rezultata:
99199 / Ln(10)/(Ln2) = 29861.87454.

Potem iz ostanka (0.87454) izračunamo še mantiso (celi del).

10^0.87454 = 7.491001775

Rezultat:
2^99199 znaša = 7.491001775 * 10^29861 (do devete decimalke natančno)


Lep dan...

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 10:52

GJ napisal/-a:Primer z logaritmi:
Imaš karo papir velikosti recimo 227 * 437 kvadratkov, če v vsak kvadratek vpišeš 0 ali ena dobiš 2^(227*437) možnosti.
Torej: 227 * 437 = 99199.
Torej koliko pa je: 2^99199, oziroma 2 na 99199, v desetiškem seveda. :roll:
Rezultat:
2^99199 znaša: 7.491001775 * 10^29861
Hvala za odgovor (izračun), super (zaupam, da je izračun pravilen).
Ampak mene zanima odgovor na 'zakaj'.
Če vzameš navaden "calculator" boš ugotovil da računa le do 99 decimalnih mest.
No tukaj sedaj uporabiš logaritme:
Najprej izračunaš razmerje med desetiško osnovo (ker nas rezultat zanima v desetiškem sistemu) in osnovo potence, ki je v našem primeru 2 (dve možnosti kvadratka).
Ln(10)/(Ln2) = 3.321928095
To bi bil prispevek: prva osnova je deset z. desetiškega sistema; druga osnova je dve, ker sta 2 možnosti (0,1).

Moj kalkulator ne računa niti do 99 decim. mest.
Ali pa si mislil, da tako računa večina, ima to v spominu - prikaže pa npr. le deset decim. mest?
Nakar izračunamo cela mesta, oziroma potenco ali eksponent želenega rezultata:
99199 / Ln(10)/(Ln2) = 29861.87454.
Potem iz ostanka (0.87454) izračunamo še mantiso (celi del).
10^0.87454 = 7.491001775
Vse to pa je le (sicer zahtevnejša) matematična tehnika.

Odgovora na 'zakaj logaritmiramo?' pa še vedno ni.

Tudi na splošno še ni celovitega odgovora (na: Zakaj določena operacija?).

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2602
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a GJ » 15.6.2014 11:28

Rock napisal/-a:Moj kalkulator ne računa niti do 99 decim. mest.
Ali pa si mislil, da tako računa večina, ima to v spominu - prikaže pa npr. le deset decim. mest?
No seveda, tukaj sem mislil na možnost prikazovanja, ki je recimo 10 mest in pa na ekponento, ki ponavadi znaša +-99.
Rock napisal/-a:Tudi na splošno še ni celovitega odgovora (na: Zakaj določena operacija?).
Če se vežemo na primer množic za definicijo glej wiki.
1)Možica je lahko enodimenzionalno polje od x do y pri čemer velja, da je y > x. Tukaj lahko le preprosto dodajamo (prištevamo) ali odvzemamo (odštevamo).
2)Množica lahko večkrat pomnožimo ali pa jo razdelimo na več enakih manjših delov, v tem primeru uporabljamo računsko operacijo množenje oziroma deljenje.
3)Logaritme ponavadi uporabljamo takrat, ko postanejo rezultati števili zelo veliki ali zelo majhni, rezultat operacije kot število pa ne moremo preprosto zapisati na list papirja, saj so predolga (glej moj prejšnji primer). Zato uporabljamo matematični zapis, ki je sestavljen iz celega dela (osnove) in desetiške eksponente.

Lep dan...
Zadnjič spremenil GJ, dne 15.6.2014 11:30, skupaj popravljeno 3 krat.

derik
Prispevkov: 2042
Pridružen: 6.3.2010 9:04

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a derik » 15.6.2014 11:28

Logaritmiraš zato, da komplicirano množenje prevedeš v enostavno seštevanje. Če te zanima recimo 4,44444 x 6,66666 , potem lahko sešteješ logaritma enega in drugega števila in rezultat antilogaritmiraš. To se je počelo nekoč, ko še ni bilo kalkulatorjev. Na logaritmičnem računalu si razdalji pri 4,44444 dodal razdaljo od 6,66666 in pogledal, kaj piše pri rezultatu.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 12:07

GJ napisal/-a:
Rock napisal/-a:Tudi na splošno še ni celovitega odgovora (na: Zakaj določena operacija?).
Če se vežemo na primer množic za definicijo glej wiki
Lahko bi najprej še povzel definicijo.
1)Možica je lahko enodimenzionalno polje od x do y pri čemer velja, da je y > x. Tukaj lahko le preprosto dodajamo (prištevamo) ali odvzemamo (odštevamo).
2)Množica lahko večkrat pomnožimo ali pa jo razdelimo na več enakih manjših delov, v tem primeru uporabljamo računsko operacijo množenje oziroma deljenje.
3)Logaritme ponavadi uporabljamo takrat, ko postanejo rezultati števili zelo veliki ali zelo majhni, rezultat operacije kot število pa ne moremo preprosto zapisati na list papirja, saj so predolga (glej moj prejšnji primer). Zato uporabljamo matematični zapis, ki je sestavljen iz celega dela (osnove) in desetiške eksponente.
OK, hvala, ampak s tem princip ni pojasnjen.

Še enkrat:
če imam šahovnico (kvadrat, 8x8, 64 polj), je odgovor na vprašanje, koliko je polj, 64.
Metoda: lahko preštejem vrsto a (8 polj), nato prištejem izračun od vrste b, nato od c, itd.

Problem:
- zakaj seštevam (v okviru ene vrste; v okviru celotne šahovnice) (in ne množim, potenciram, ...)?
- lahko tudi množim (8x8), ampak zopet - zakaj?
- lahko potenciram (8^2) - kdaj je utemeljena ta metoda?

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 12:16

derik napisal/-a:Logaritmiraš zato, da komplicirano množenje prevedeš v enostavno seštevanje. Če te zanima recimo 4,44444 x 6,66666 , potem lahko sešteješ logaritma enega in drugega števila in rezultat antilogaritmiraš. To se je počelo nekoč, ko še ni bilo kalkulatorjev. Na logaritmičnem računalu si razdalji pri 4,44444 dodal razdaljo od 6,66666 in pogledal, kaj piše pri rezultatu.
OK, hvala, toda to je le tehnično pojasnilo.

Zajc
Prispevkov: 1098
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc » 15.6.2014 12:22

Rock napisal/-a:- zakaj seštevam (v okviru ene vrste; v okviru celotne šahovnice) (in ne množim, potenciram, ...)?
- lahko tudi množim (8x8), ampak zopet - zakaj?
Množenje je v bistvu zapis v skrajšani obliki za seštevanje. Vsebinsko ni nobene razlike, razlika je le v obliki zapisa. Na primer \(10+10+10+10+10+10=60\) lahko povemo v skrajšani obliki kot \(6\cdot 10=60\). V ozadju tega računa je še vedno seštevanje, le da so (v primeru množenja) seštevanci enaki.
- lahko potenciram (8^2) - kdaj je utemeljena ta metoda?
Pri potenciranju (z naravnim eksponentom) gre v bistvu množenje enakih faktorjev. Kogar zanima produkt \(8\cdot 8\cdot 8\), bo to lahko zapisal v skrajšani obliki kot \(8^3\).

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 12:44

Zajc napisal/-a:
Rock napisal/-a:- zakaj seštevam (v okviru ene vrste; v okviru celotne šahovnice) (in ne množim, potenciram, ...)?
- lahko tudi množim (8x8), ampak zopet - zakaj?
Množenje je v bistvu zapis v skrajšani obliki za seštevanje. Vsebinsko ni nobene razlike, razlika je le v obliki zapisa. Na primer \(10+10+10+10+10+10=60\) lahko povemo v skrajšani obliki kot \(6\cdot 10=60\). V ozadju tega računa je še vedno seštevanje, le da so (v primeru množenja) seštevanci enaki.
- lahko potenciram (8^2) - kdaj je utemeljena ta metoda?
Pri potenciranju (z naravnim eksponentom) gre v bistvu množenje enakih faktorjev. Kogar zanima produkt \(8\cdot 8\cdot 8\), bo to lahko zapisal v skrajšani obliki kot \(8^3\).
Hvala, Zajc, ampak z odgovorom mojega znanja nisi povečal.

Jaz špekuliram, da tiči odgovor v lastnostih razmerij.
Toda potrebno je izoblikovati abstrakcijo.

bianko
Prispevkov: 577
Pridružen: 15.12.2002 17:00

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a bianko » 15.6.2014 12:45

V bistvu je vsa matematika "samo" seštevanje in odštevanje.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock » 15.6.2014 12:53

bianko napisal/-a:V bistvu je vsa matematika "samo" seštevanje in odštevanje.
Morda to drži.
Toda, recimo, v pravu: pravičnost se izrazi z ultimativnim reklom suum cuique (vsakomur svoje); kritiki očitajo, da je reklo tako abstraktno, da (zaradi pomenske širine) ne koristi.

Zajc
Prispevkov: 1098
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc » 15.6.2014 13:00

bianko napisal/-a:V bistvu je vsa matematika "samo" seštevanje in odštevanje.
To velja samo v aritmetiki celih števil. Že v realnih številih nastopijo operacije, ki jih ni mogoče opisati z osnovnimi (limite, supremumi, od koder pridejo tudi npr. potence z necelimi eksponenti).

Roman
Prispevkov: 5540
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Roman » 15.6.2014 13:07

Rock napisal/-a:Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Nekako nisem prepričan, da razumem vprašanje. Poskusiva z začetkom. Najprej je bilo štetje. Če si hotel vedeti, koliko fižolčkov je v kupu, si jih postavil v vrsto in jih preštel. Če si dal zraven še en kup fižolčkov in te je zanimalo, koliko je vseh, si jih spet preštel. Ampak, če pa si že vedel, koliko fižolčkov v prvem in koliko v drugem kupu, je preštevanje nepotrebno, rezultat lahko dobiš bolj enostavno, s seštevanjem. Če sta kupa majhna, morda ni razlike, če pa je v prvem 500 fižolčkov, v drugem pa 800, je razlika med obema metodama že očitna. Izbira metode (operacije) je torej vprašanje gospodarnosti. Metodo (seštevanje) je bilo seveda treba najprej razviti, dodati simbole in jo izvajati pisno, šele potem se je lahko izkazala. Podobno je z množenjem, ki je v bistvu samo poenostavljeno (in bistveno bolj elegantno) seštevanje. En razlog za uvedbo nove metode je torej gospodarnost, drugi razlog pa je, da lahko z uporabo nove metode rešujemo probleme, ki jih prej nismo mogli. Zaenkrat toliko.

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 7 gostov