Aritmetični principi

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock »

Roman napisal/-a:
Rock napisal/-a:Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Nekako nisem prepričan, da razumem vprašanje. Poskusiva z začetkom. Najprej je bilo štetje. Če si hotel vedeti, koliko fižolčkov je v kupu, si jih postavil v vrsto in jih preštel. Če si dal zraven še en kup fižolčkov in te je zanimalo, koliko je vseh, si jih spet preštel. Ampak, če pa si že vedel, koliko fižolčkov v prvem in koliko v drugem kupu, je preštevanje nepotrebno, rezultat lahko dobiš bolj enostavno, s seštevanjem. Če sta kupa majhna, morda ni razlike, če pa je v prvem 500 fižolčkov, v drugem pa 800, je razlika med obema metodama že očitna. Izbira metode (operacije) je torej vprašanje gospodarnosti. Metodo (seštevanje) je bilo seveda treba najprej razviti, dodati simbole in jo izvajati pisno, šele potem se je lahko izkazala. Podobno je z množenjem, ki je v bistvu samo poenostavljeno (in bistveno bolj elegantno) seštevanje. En razlog za uvedbo nove metode je torej gospodarnost, drugi razlog pa je, da lahko z uporabo nove metode rešujemo probleme, ki jih prej nismo mogli. Zaenkrat toliko.
Hvala za odgovor, ampak nisem zadovoljen.

Govoriš o preštevanju, to je, o seštevanju. Nisi odgovoril, zakaj seštevanje. - Ekonomičnost tudi ni pravi odgovor: mogoče boš razumel takole: kje je vzrok, da je 'gospodarnost'
indicirana (matematično pravilna metoda)?

derik
Prispevkov: 2044
Pridružen: 6.3.2010 9:04

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a derik »

Rock, prav spretno se nas trudiš usmerjati pri poskusih, da ti pomagamo zastaviti vprašanje na tak način, da boš lahko zadovoljen z odgovorom. Torej meniš, da bi bilo treba poskušati bolj v abstraktni smeri? Nekako pojasniti upravičenost kriterija, po katerem se v konkretnem primeru odločamo, katero od osnovnih aritmetičnih operacij bomo uporabili?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Rock napisal/-a:
Roman napisal/-a:Nekako nisem prepričan, da razumem vprašanje. Poskusiva z začetkom. Najprej je bilo štetje. Če si hotel vedeti, koliko fižolčkov je v kupu, si jih postavil v vrsto in jih preštel ...
Govoriš o preštevanju, to je, o seštevanju. Nisi odgovoril, zakaj seštevanje.
Je odgovoril, na primeru.

Če bi rad izvedel, koliko fižolov je na kupu, potem moraš fižole prešteti (= sešteti). Namen preštevanja je torej izvedeti količino.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock »

derik napisal/-a:Rock, prav spretno se nas trudiš usmerjati pri poskusih, da ti pomagamo zastaviti vprašanje na tak način, da boš lahko zadovoljen z odgovorom. Torej meniš, da bi bilo treba poskušati bolj v abstraktni smeri? Nekako pojasniti upravičenost kriterija, po katerem se v konkretnem primeru odločamo, katero od osnovnih aritmetičnih operacij bomo uporabili?
Bravo!
S samo naslednjo korekcijo:
skušam vam prek različnih aspektov olajšati razumevanje, da mi boste lahko s pomočjo znanja, ki ga jaz nimam, dali pravilen odgovor.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock »

Zajc napisal/-a:
Rock napisal/-a:
Roman napisal/-a:Nekako nisem prepričan, da razumem vprašanje. Poskusiva z začetkom. Najprej je bilo štetje. Če si hotel vedeti, koliko fižolčkov je v kupu, si jih postavil v vrsto in jih preštel ...
Govoriš o preštevanju, to je, o seštevanju. Nisi odgovoril, zakaj seštevanje.
Je odgovoril, na primeru.
Če bi rad izvedel, koliko fižolov je na kupu, potem moraš fižole prešteti (= sešteti). Namen preštevanja je torej izvedeti količino.
Se ne strinjam.
Tudi npr. množenje ima glede količine isti namen.

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Rock napisal/-a:
Zajc napisal/-a:Če bi rad izvedel, koliko fižolov je na kupu, potem moraš fižole prešteti (= sešteti). Namen preštevanja je torej izvedeti količino.
Se ne strinjam.
Tudi množenje ima glede količine isti namen.
Drži. In zato je tudi množenje lahko sredstvo za izvedeti količino. Gre predvsem za izbiro posameznika.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock »

Zajc napisal/-a:
Rock napisal/-a:
Zajc napisal/-a:Če bi rad izvedel, koliko fižolov je na kupu, potem moraš fižole prešteti (= sešteti). Namen preštevanja je torej izvedeti količino.
Se ne strinjam.
Tudi množenje ima glede količine isti namen.
Drži. In zato je tudi množenje lahko sredstvo za izvedeti količino. Gre predvsem za izbiro posameznika.
Nikar ne sugeriraj, da je izbira arbitrarna.

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Izbira je povsem prosta, tako je.

Če imaš 10 kupov po 10 zrn fižola, potem obstajajo vsaj trije (navidez različni) načini, kako ugotoviti skupno količino:
1. seštevanje: \(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100\)
2. množenje: \(10\cdot 10=100\)
3. potenciranje: \(10^2=100\)
Seveda je že bilo omenjeno, da gre pri množenju in potenciranju v bistvu za seštevanje v drugi preobleki. Torej gre v resnici za eno samo metodo: seštevanje (kar pa je v svojem bistvu isto kot preštevanje).

Namen preštevanja je izvedeti količino.

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock »

Zajc napisal/-a:Izbira je povsem prosta, tako je.

Če imaš 10 kupov po 10 zrn fižola, potem obstajajo vsaj trije (navidez različni) načini, kako ugotoviti skupno količino:
1. seštevanje: \(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100\)
2. množenje: \(10\cdot 10=100\)
3. potenciranje: \(10^2=100\)
Seveda je že bilo omenjeno, da sta množenje in potenciranje samo seštevanje v drugi preobleki, torej gre v resnici za eno samo metodo: seštevanje (kar pa je v svojem bistvu isto kot preštevanje).
Mislim, da se sedaj razumemo.

Ampak imam občutek, da odgovor ne rešuje začetnega primera (minute želim spremeniti v ure).

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Rock napisal/-a:Ampak imam občutek, da odgovor ne rešuje začetnega primera (minute želim spremeniti v ure).
Pri deljenju gre pravzaprav za množenje, le da je to "v obratni smeri". Torej je v ozadju še vedno preštevanje. Če dam preprost primer (ni sicer isto kot tvoj z urami, ampak je analogen): recimo, da imam 20 fižolov in bi jih rad razporedil v kupe, in sicer tako, da bo v vsakem kupu 5 fižolov. Vprašanje pa je, koliko je potem kupov. Odgovor najdem tako, da napišem naslednji račun:
5+5+5+5=20
Ta račun mi pove, da če imam 4 kupe po 5 fižolov, dobim ravno 20. To ravno pomeni, da je odgovor na moje vprašanje 4. Operacija deljenja pa je po definiciji točno to, torej da je \(20/5=4\). Oziroma bolje, \(20/5=4\) je drug zapis za \(4\cdot 5=20\).

Rock
Prispevkov: 9229
Pridružen: 27.11.2008 11:14
Kraj: Ljubljana

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Rock »

Zajc napisal/-a:
Rock napisal/-a:Ampak imam občutek, da odgovor ne rešuje začetnega primera (minute želim spremeniti v ure).
Pri deljenju gre pravzaprav za množenje, le da je to "v obratni smeri". Torej je v ozadju še vedno preštevanje. Če dam preprost primer (ni sicer isto kot tvoj z urami, ampak je analogen): recimo, da imam 20 fižolov in bi jih rad razporedil v kupe, in sicer tako, da bo v vsakem kupu 5 fižolov. Vprašanje pa je, koliko je potem kupov. Odgovor najdem tako, da napišem naslednji račun:
5+5+5+5=20
Ta račun mi pove, da če imam 4 kupe po 5 fižolov, dobim ravno 20. To ravno pomeni, da je odgovor na moje vprašanje 4. Operacija deljenja pa je po definiciji točno to, torej da je \(20/5=4\). Oziroma bolje, \(20/5=4\) je drug zapis za \(4\cdot 5=20\).
OK, hvala ti. In ostalim. Vsi ste se zelo potrudili.

Toda, bom ponovil:

dejansko bi želel, v smislu derika, pojasnilo o utemeljenosti kriterija, na osnovi katerega se v konkretnem primeru odločimo za uporabo ene od aritmetičnih operacij.

Ali pri tvojem stavku:
"Odgovor najdem tako, da napišem naslednji račun:
5+5+5+5=20":
ti kot matematik morda uporabiš seštevanje podzavestno, po občutku - jaz sprašujem po racionalnem (preverljivem) razlogu.

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a GJ »

Rock napisal/-a:OK, hvala ti. In ostalim. Vsi ste se zelo potrudili.

Toda, bom ponovil:
En neumen lahko vpraša več, kot lahko devet pametnih odgovori...

V razmerju neumen/pameten se skriva tvoj odgovor.

Lep večer vsem...

Roman
Prispevkov: 6600
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Roman »

Rock napisal/-a:Hvala za odgovor, ampak nisem zadovoljen.
Tudi tega nisem pričakoval. Tebe ni mogoče zadovoljiti.
Govoriš o preštevanju, to je, o seštevanju. Nisi odgovoril, zakaj seštevanje.
Bom samo ponovil za drugimi: namen štetja je ugotoviti, koliko predmetov, kosov je. S seštevanjem, množenjem in potenciranjem to naredimo hitreje, preprosteje in z manj napakami. To so trije odlični odgovori, ki bi te morali zadovoljiti. Zanimivo je, da če želimo samo ugotoviti, v katerem kupu je več fižolčkov, štetje sploh ni potrebno.
Ekonomičnost tudi ni pravi odgovor ...
Pa je, čeprav ni edini.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14610
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a shrink »

Iz tega se spet kaže tipična Rockova izrojena logika:
Rock napisal/-a:S samo naslednjo korekcijo:
skušam vam prek različnih aspektov olajšati razumevanje, da mi boste lahko s pomočjo znanja, ki ga jaz nimam, dali pravilen odgovor.
"Želim, da mi nekaj razložite, ker sam tega ne zmorem, vas bom pa usmeril k pravilnemu odgovoru, tako da boste sami lažje razumeli. :shock:

Skratka: Rock si želi razlag, bo pa sam odločil, če so pravilne. :lol:

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Aritmetični principi

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Rock napisal/-a: 5+5+5+5=20":
ti kot matematik morda uporabiš seštevanje podzavestno, po občutku - jaz sprašujem po racionalnem (preverljivem) razlogu.
Kar se seštevanja (t.j., štetja) tiče, so stvari jasne: namen štetja je ugotoviti količino. To je iskani racionalni razlog (tu ne gre za nikakršen občutek oz. intuicijo).

Za množenje smo ugotovili, da gre zgolj za seštevanje (štetje), zapisano v drugi obliki.

Kar se deljenja tiče, pa gre prav tako za štetje, le da so podatki drugače obrnjeni in je tip vprašanja drugačen. (Glej razlago zgoraj.)

Na primer, pri vprašanju "Koliko ur je 120 minut?" gre za vprašanje tipa "koliko", torej sprašuje po količini, torej gre za štetje. V tej ugotovitvi ni nobenega podzavestnega občutka, le sledenje togim pravilom.

Odgovori