Aritmetični principi
Aritmetični principi
Poznamo 4 osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje). In dodam še potenciranje, korenjenje, logaritmiranje.
Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?
Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?
Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?
Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?
Re: Aritmetični principi
Zato, ker poanta ni v tem, da bi dobil MANJ, pač pa v tem, da minute RAZDELIŠ v skupine po 60 na eno uro. Sešteva in odšteva se iste enote, množenje in deljenje pa sta samo skrajšani obliki zaporednega ponavljanja iste operacije seštevanja oz. odštevanja.Rock napisal/-a:Poznamo 4 osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje). In dodam še potenciranje, korenjenje, logaritmiranje.
Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?
Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?
Primer: Imaš 24 pločevink piva in jih hočeš zapakirati v sixpacke po 6 na en ovoj. Zanima te število sixpackov. Razdeliš na skupine po 6 in prešteješ skupine. Štirikrat PONOVIŠ odštevanje po 6 in šteješ ponovitve.
Za logaritme boš moral pa na Zajca počakati.
Re: Aritmetični principi
Mislim, da je to prispevek, ampak še vedno nisem zadovoljen.derik napisal/-a:Zato, ker poanta ni v tem, da bi dobil MANJ, pač pa v tem, da minute RAZDELIŠ v skupine po 60 na eno uro.Rock napisal/-a:Poznamo 4 osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje). In dodam še potenciranje, korenjenje, logaritmiranje.
Kdaj uporabimo posamezno operacijo?
Ilustrativni primer:
če pretvarjam minute v ure:
vem za pretvornik (60); ker bo ur manj kot minut, uporabim deljenje; če pretvarjam ure v minute, uporabim množenje;
zakaj tako - zakaj v prvem primeru ne odštevanja ali korenjenja ali logaritmiranja?
Ali hoče kdo navesti primer za vsako operacijo, in dati utemeljitev?
Rešitev glede na m. znanje je 4 (uporabim deljenje, 24 : 6).Imaš 24 pločevink piva in jih hočeš zapakirati v sixpacke po 6 na en ovoj. Zanima te število sixpackov. Razdeliš na skupine po 6 in prešteješ skupine. Štirikrat PONOVIŠ odštevanje po 6 in šteješ ponovitve.
Tvoj postopek pa je še na osnovnejši operativni ravni (besedno formulacijo spreminjaš neposredno v matematični jezik).
Mene zanima abstrakcija (princip).
Čakam torej na tvojo dopolnitev ali na Zajca ali druge.
Re: Aritmetični principi
Primer z logaritmi:
Imaš karo papir velikosti recimo 227 * 437 kvadratkov, če v vsak kvadratek vpišeš 0 ali 1 dobiš 2^(227*437) možnosti.
Torej: 227 * 437 = 99199.
Torej koliko pa je: 2^99199, oziroma 2 na 99199, v desetiškem seveda.
Če vzameš navaden "calculator" boš ugotovil da računa le do 99 decimalnih mest.
No tukaj sedaj uporabiš logaritme:
Najprej izračunaš razmerje med desetiško osnovo (ker nas rezultat zanima v desetiškem sistemu) in osnovo potence, ki je v našem primeru 2 (dve možnosti kvadratka).
Ln(10)/(Ln2) = 3.321928095
Nakar izračunamo cela mesta, oziroma potenco ali eksponent želenega rezultata:
99199 / Ln(10)/(Ln2) = 29861.87454.
Potem iz ostanka (0.87454) izračunamo še mantiso (celi del).
10^0.87454 = 7.491001775
Rezultat:
2^99199 znaša = 7.491001775 * 10^29861 (do devete decimalke natančno)
Lep dan...
Imaš karo papir velikosti recimo 227 * 437 kvadratkov, če v vsak kvadratek vpišeš 0 ali 1 dobiš 2^(227*437) možnosti.
Torej: 227 * 437 = 99199.
Torej koliko pa je: 2^99199, oziroma 2 na 99199, v desetiškem seveda.
Če vzameš navaden "calculator" boš ugotovil da računa le do 99 decimalnih mest.
No tukaj sedaj uporabiš logaritme:
Najprej izračunaš razmerje med desetiško osnovo (ker nas rezultat zanima v desetiškem sistemu) in osnovo potence, ki je v našem primeru 2 (dve možnosti kvadratka).
Ln(10)/(Ln2) = 3.321928095
Nakar izračunamo cela mesta, oziroma potenco ali eksponent želenega rezultata:
99199 / Ln(10)/(Ln2) = 29861.87454.
Potem iz ostanka (0.87454) izračunamo še mantiso (celi del).
10^0.87454 = 7.491001775
Rezultat:
2^99199 znaša = 7.491001775 * 10^29861 (do devete decimalke natančno)
Lep dan...
Re: Aritmetični principi
Hvala za odgovor (izračun), super (zaupam, da je izračun pravilen).GJ napisal/-a:Primer z logaritmi:
Imaš karo papir velikosti recimo 227 * 437 kvadratkov, če v vsak kvadratek vpišeš 0 ali ena dobiš 2^(227*437) možnosti.
Torej: 227 * 437 = 99199.
Torej koliko pa je: 2^99199, oziroma 2 na 99199, v desetiškem seveda.
Rezultat:
2^99199 znaša: 7.491001775 * 10^29861
Ampak mene zanima odgovor na 'zakaj'.
To bi bil prispevek: prva osnova je deset z. desetiškega sistema; druga osnova je dve, ker sta 2 možnosti (0,1).Če vzameš navaden "calculator" boš ugotovil da računa le do 99 decimalnih mest.
No tukaj sedaj uporabiš logaritme:
Najprej izračunaš razmerje med desetiško osnovo (ker nas rezultat zanima v desetiškem sistemu) in osnovo potence, ki je v našem primeru 2 (dve možnosti kvadratka).
Ln(10)/(Ln2) = 3.321928095
Moj kalkulator ne računa niti do 99 decim. mest.
Ali pa si mislil, da tako računa večina, ima to v spominu - prikaže pa npr. le deset decim. mest?
Vse to pa je le (sicer zahtevnejša) matematična tehnika.Nakar izračunamo cela mesta, oziroma potenco ali eksponent želenega rezultata:
99199 / Ln(10)/(Ln2) = 29861.87454.
Potem iz ostanka (0.87454) izračunamo še mantiso (celi del).
10^0.87454 = 7.491001775
Odgovora na 'zakaj logaritmiramo?' pa še vedno ni.
Tudi na splošno še ni celovitega odgovora (na: Zakaj določena operacija?).
Re: Aritmetični principi
No seveda, tukaj sem mislil na možnost prikazovanja, ki je recimo 10 mest in pa na ekponento, ki ponavadi znaša +-99.Rock napisal/-a:Moj kalkulator ne računa niti do 99 decim. mest.
Ali pa si mislil, da tako računa večina, ima to v spominu - prikaže pa npr. le deset decim. mest?
Če se vežemo na primer množic za definicijo glej wiki.Rock napisal/-a:Tudi na splošno še ni celovitega odgovora (na: Zakaj določena operacija?).
1)Možica je lahko enodimenzionalno polje od x do y pri čemer velja, da je y > x. Tukaj lahko le preprosto dodajamo (prištevamo) ali odvzemamo (odštevamo).
2)Množica lahko večkrat pomnožimo ali pa jo razdelimo na več enakih manjših delov, v tem primeru uporabljamo računsko operacijo množenje oziroma deljenje.
3)Logaritme ponavadi uporabljamo takrat, ko postanejo rezultati števili zelo veliki ali zelo majhni, rezultat operacije kot število pa ne moremo preprosto zapisati na list papirja, saj so predolga (glej moj prejšnji primer). Zato uporabljamo matematični zapis, ki je sestavljen iz celega dela (osnove) in desetiške eksponente.
Lep dan...
Zadnjič spremenil GJ, dne 15.6.2014 11:30, skupaj popravljeno 3 krat.
Re: Aritmetični principi
Logaritmiraš zato, da komplicirano množenje prevedeš v enostavno seštevanje. Če te zanima recimo 4,44444 x 6,66666 , potem lahko sešteješ logaritma enega in drugega števila in rezultat antilogaritmiraš. To se je počelo nekoč, ko še ni bilo kalkulatorjev. Na logaritmičnem računalu si razdalji pri 4,44444 dodal razdaljo od 6,66666 in pogledal, kaj piše pri rezultatu.
Re: Aritmetični principi
Lahko bi najprej še povzel definicijo.GJ napisal/-a:Če se vežemo na primer množic za definicijo glej wikiRock napisal/-a:Tudi na splošno še ni celovitega odgovora (na: Zakaj določena operacija?).
OK, hvala, ampak s tem princip ni pojasnjen.1)Možica je lahko enodimenzionalno polje od x do y pri čemer velja, da je y > x. Tukaj lahko le preprosto dodajamo (prištevamo) ali odvzemamo (odštevamo).
2)Množica lahko večkrat pomnožimo ali pa jo razdelimo na več enakih manjših delov, v tem primeru uporabljamo računsko operacijo množenje oziroma deljenje.
3)Logaritme ponavadi uporabljamo takrat, ko postanejo rezultati števili zelo veliki ali zelo majhni, rezultat operacije kot število pa ne moremo preprosto zapisati na list papirja, saj so predolga (glej moj prejšnji primer). Zato uporabljamo matematični zapis, ki je sestavljen iz celega dela (osnove) in desetiške eksponente.
Še enkrat:
če imam šahovnico (kvadrat, 8x8, 64 polj), je odgovor na vprašanje, koliko je polj, 64.
Metoda: lahko preštejem vrsto a (8 polj), nato prištejem izračun od vrste b, nato od c, itd.
Problem:
- zakaj seštevam (v okviru ene vrste; v okviru celotne šahovnice) (in ne množim, potenciram, ...)?
- lahko tudi množim (8x8), ampak zopet - zakaj?
- lahko potenciram (8^2) - kdaj je utemeljena ta metoda?
Re: Aritmetični principi
OK, hvala, toda to je le tehnično pojasnilo.derik napisal/-a:Logaritmiraš zato, da komplicirano množenje prevedeš v enostavno seštevanje. Če te zanima recimo 4,44444 x 6,66666 , potem lahko sešteješ logaritma enega in drugega števila in rezultat antilogaritmiraš. To se je počelo nekoč, ko še ni bilo kalkulatorjev. Na logaritmičnem računalu si razdalji pri 4,44444 dodal razdaljo od 6,66666 in pogledal, kaj piše pri rezultatu.
Re: Aritmetični principi
Množenje je v bistvu zapis v skrajšani obliki za seštevanje. Vsebinsko ni nobene razlike, razlika je le v obliki zapisa. Na primer \(10+10+10+10+10+10=60\) lahko povemo v skrajšani obliki kot \(6\cdot 10=60\). V ozadju tega računa je še vedno seštevanje, le da so (v primeru množenja) seštevanci enaki.Rock napisal/-a:- zakaj seštevam (v okviru ene vrste; v okviru celotne šahovnice) (in ne množim, potenciram, ...)?
- lahko tudi množim (8x8), ampak zopet - zakaj?
Pri potenciranju (z naravnim eksponentom) gre v bistvu množenje enakih faktorjev. Kogar zanima produkt \(8\cdot 8\cdot 8\), bo to lahko zapisal v skrajšani obliki kot \(8^3\).- lahko potenciram (8^2) - kdaj je utemeljena ta metoda?
Re: Aritmetični principi
Hvala, Zajc, ampak z odgovorom mojega znanja nisi povečal.Zajc napisal/-a:Množenje je v bistvu zapis v skrajšani obliki za seštevanje. Vsebinsko ni nobene razlike, razlika je le v obliki zapisa. Na primer \(10+10+10+10+10+10=60\) lahko povemo v skrajšani obliki kot \(6\cdot 10=60\). V ozadju tega računa je še vedno seštevanje, le da so (v primeru množenja) seštevanci enaki.Rock napisal/-a:- zakaj seštevam (v okviru ene vrste; v okviru celotne šahovnice) (in ne množim, potenciram, ...)?
- lahko tudi množim (8x8), ampak zopet - zakaj?Pri potenciranju (z naravnim eksponentom) gre v bistvu množenje enakih faktorjev. Kogar zanima produkt \(8\cdot 8\cdot 8\), bo to lahko zapisal v skrajšani obliki kot \(8^3\).- lahko potenciram (8^2) - kdaj je utemeljena ta metoda?
Jaz špekuliram, da tiči odgovor v lastnostih razmerij.
Toda potrebno je izoblikovati abstrakcijo.
Re: Aritmetični principi
V bistvu je vsa matematika "samo" seštevanje in odštevanje.
Re: Aritmetični principi
Morda to drži.bianko napisal/-a:V bistvu je vsa matematika "samo" seštevanje in odštevanje.
Toda, recimo, v pravu: pravičnost se izrazi z ultimativnim reklom suum cuique (vsakomur svoje); kritiki očitajo, da je reklo tako abstraktno, da (zaradi pomenske širine) ne koristi.
Re: Aritmetični principi
To velja samo v aritmetiki celih števil. Že v realnih številih nastopijo operacije, ki jih ni mogoče opisati z osnovnimi (limite, supremumi, od koder pridejo tudi npr. potence z necelimi eksponenti).bianko napisal/-a:V bistvu je vsa matematika "samo" seštevanje in odštevanje.
Re: Aritmetični principi
Nekako nisem prepričan, da razumem vprašanje. Poskusiva z začetkom. Najprej je bilo štetje. Če si hotel vedeti, koliko fižolčkov je v kupu, si jih postavil v vrsto in jih preštel. Če si dal zraven še en kup fižolčkov in te je zanimalo, koliko je vseh, si jih spet preštel. Ampak, če pa si že vedel, koliko fižolčkov v prvem in koliko v drugem kupu, je preštevanje nepotrebno, rezultat lahko dobiš bolj enostavno, s seštevanjem. Če sta kupa majhna, morda ni razlike, če pa je v prvem 500 fižolčkov, v drugem pa 800, je razlika med obema metodama že očitna. Izbira metode (operacije) je torej vprašanje gospodarnosti. Metodo (seštevanje) je bilo seveda treba najprej razviti, dodati simbole in jo izvajati pisno, šele potem se je lahko izkazala. Podobno je z množenjem, ki je v bistvu samo poenostavljeno (in bistveno bolj elegantno) seštevanje. En razlog za uvedbo nove metode je torej gospodarnost, drugi razlog pa je, da lahko z uporabo nove metode rešujemo probleme, ki jih prej nismo mogli. Zaenkrat toliko.Rock napisal/-a:Kdaj uporabimo posamezno operacijo?