Rešljivost sistema v odvisnosti od parametra

[potatocar]

Imam naslednji sistem enačb:
ax+y+z=1
x+ay+z=1
x+y+az=1

Rešitev je za a=1 x+y+z=1, za a=-2 nima rešitve in za vse ostale a je (x,y,z)=((1/a-2),(1/a-2),(1/a-2))

Je pri teh sistemih kjer je notri nek parameter kakšen poseben postopek, al pride lepo z Gaussom? Ker meni ne rata dobit ničesar pametnega.

Hvala!

[shrink]

Za sistem, v katerem je št. neznank enako št. enačb, lahko o obstoju rešitev sklepaš na osnovi determinante matrike sistema (koeficientov leve strani). Če je sistem nehomogen (t.j., vektor desne strani je različen od 0), potem determinanta različna od 0 implicira enolično rešitev, sicer bodisi neenolično rešitev, bodisi neobstoječo rešitev.

V tvojem primeru je matrika sistema:

\(A=\begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix}\)

z determinanto:

\(\det A=(a-1)^2(a+2)\)

Determinanta je enaka 0 za \(a=1\) (neenolična rešitev) ali \(a=-2\) (rešitev ne obstaja). Za ostale vrednosti \(a\) obstaja enolična rešitev, do katere lahko prideš npr. po Cramerju.