Diferencialna enačba
Diferencialna enačba
Zanima me, kako pri diferencialni enačbi določiš katera je partikularna in katera komplementarna rešitev? Recimo na rešenem primeru spodaj.
Re: Diferencialna enačba
Če se "komplementarna rešitev" nanaša na rešitev homogene enačbe, potem je jasno, da jo dobiš takrat, ko rešuješ zgolj homogeno enačbo.
V svojem primeru si do skupne rešitve (vsota homogene in partikularne rešitve) očitno prišel preko Laplaceove transformacije. Do rešitve homogene enačbe lahko prideš, če izvedeš Laplaceovo transformacijo le na njej. Partikularna rešitev je potem razlika skupne in homogene rešitve.
Če se pa hočeš izogniti dvojnem delu, potem lahko v določenih primerih na osnovi pričakovane oblike rešitev sklepaš o homogenem in partikularnem delu:
V tvojem primeru gre za linearno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti. Homogena rešitev je vedno linearna kombinacija tipa:
\(y_h(t)=C_1e^{D_1t}+C_2e^{D_2t}\),
kjer sta \(D_1\) in \(D_2\) ničli karakterističnega polinoma druge stopnje. Če sta ničli imaginarni, potem imaš v rešitvi linearno kombinacijo sinusa in kosinusa.
Partikularna rešitev ponavadi "spominja" na desno stran diferencialne enačbe: če je desna stran polinom, je tudi partikularna rešitev v obliki polinoma.
Iz navedenega lahko sklepaš, da za tvoj primer homogenemu (komplementarnemu) delu ustreza \(-3\sin t+\cos t\), partikularnemu pa \(t\).
V svojem primeru si do skupne rešitve (vsota homogene in partikularne rešitve) očitno prišel preko Laplaceove transformacije. Do rešitve homogene enačbe lahko prideš, če izvedeš Laplaceovo transformacijo le na njej. Partikularna rešitev je potem razlika skupne in homogene rešitve.
Če se pa hočeš izogniti dvojnem delu, potem lahko v določenih primerih na osnovi pričakovane oblike rešitev sklepaš o homogenem in partikularnem delu:
V tvojem primeru gre za linearno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti. Homogena rešitev je vedno linearna kombinacija tipa:
\(y_h(t)=C_1e^{D_1t}+C_2e^{D_2t}\),
kjer sta \(D_1\) in \(D_2\) ničli karakterističnega polinoma druge stopnje. Če sta ničli imaginarni, potem imaš v rešitvi linearno kombinacijo sinusa in kosinusa.
Partikularna rešitev ponavadi "spominja" na desno stran diferencialne enačbe: če je desna stran polinom, je tudi partikularna rešitev v obliki polinoma.
Iz navedenega lahko sklepaš, da za tvoj primer homogenemu (komplementarnemu) delu ustreza \(-3\sin t+\cos t\), partikularnemu pa \(t\).
Re: Diferencialna enačba
Kaj pa tile dve nalogi? Je prav rešeno?
Pri tejle pa ne vem, če je prav prepisana. Ali je postopek pravilen? V šoli imamo tu sicer povdarek na reševanju z Laplace-om ali pa utežno funkcijo, a lahko vsako nalogo rešiš z Laplace-om, če se da.
Pri tejle pa ne vem, če je prav prepisana. Ali je postopek pravilen? V šoli imamo tu sicer povdarek na reševanju z Laplace-om ali pa utežno funkcijo, a lahko vsako nalogo rešiš z Laplace-om, če se da.
Re: Diferencialna enačba
Prva:
Prav je rešeno, vendar je tvoj sklep o partikularni rešitvi napačen: reševal si homogeno enačbo \(\ddot{y}+3y=0\), ki ima seveda le homogeno (komplementarno) rešitev.
Druga:
Če imaš dana dva začetna pogoja, potem bi moral imeti opravka z dif. en. drugega reda, ne pa s prvega reda. Verjetno si slabo prepisal.
Prav je rešeno, vendar je tvoj sklep o partikularni rešitvi napačen: reševal si homogeno enačbo \(\ddot{y}+3y=0\), ki ima seveda le homogeno (komplementarno) rešitev.
Druga:
Če imaš dana dva začetna pogoja, potem bi moral imeti opravka z dif. en. drugega reda, ne pa s prvega reda. Verjetno si slabo prepisal.
Re: Diferencialna enačba
Ja, verjetno je res narobe prepisana.
1. Kaj pa tole z limitami? Vem, da se da tudi z parcialnimi ulomki, vendar je z limitami hitrejše, pa tudi težje se zmotiš. Izračun konstant A in B mi je jasen. Pri C in D, pa vidim, da se prvotni števec odvaja, pojavi pa se tudi 1! in 2!. Kakšne so splošne formule za tak izračun? Pa tudi tistih 7/2 v končnem rezultatu mi ni jasnih.
2. Kako pridemo oz. zakaj se desna stran enačbe po Laplace-u spremeni tako kot se? (obkroženo z rdečo)
Pri podobnem primeru (na zgornji sliki je viden povsem spodaj - naloga 22) izraz t^2 e^t preide v 2/(s-1)^3?
1. Kaj pa tole z limitami? Vem, da se da tudi z parcialnimi ulomki, vendar je z limitami hitrejše, pa tudi težje se zmotiš. Izračun konstant A in B mi je jasen. Pri C in D, pa vidim, da se prvotni števec odvaja, pojavi pa se tudi 1! in 2!. Kakšne so splošne formule za tak izračun? Pa tudi tistih 7/2 v končnem rezultatu mi ni jasnih.
2. Kako pridemo oz. zakaj se desna stran enačbe po Laplace-u spremeni tako kot se? (obkroženo z rdečo)
Pri podobnem primeru (na zgornji sliki je viden povsem spodaj - naloga 22) izraz t^2 e^t preide v 2/(s-1)^3?
Re: Diferencialna enačba
1. No, ti izrazi za koeficiente pri razširitvi na parcialne ulomke niso nobena skrivnost (verjetno jih najdeš v vsaki literaturi) - na hitro sem jih našel tu:
http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/P ... epeat.html
Opomba: Zapis: \(\vert_{s=-a}\) seveda pomeni isto kot: \(\lim_{s \to -a}\).
P.S. Rešitvam v zbirkah pa ne gre vselej zaupati.
2. Poglej v tabelo Laplaceovih transformirank - recimo:
\(\displaystyle f(t)=e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \Rightarrow F(s)=\mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}=\frac{\omega}{(s+\alpha )^2 + \omega^2}\)
in
\(\displaystyle f(t)=t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t) \Rightarrow F(s)=\mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}=\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}\)
Množenje z \(u(t)\) seveda pomeni množenje z enotsko koračno funkcijo (torej: z 1), tako da ga praktično lahko odmisliš.
http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/P ... epeat.html
Opomba: Zapis: \(\vert_{s=-a}\) seveda pomeni isto kot: \(\lim_{s \to -a}\).
P.S. Rešitvam v zbirkah pa ne gre vselej zaupati.
2. Poglej v tabelo Laplaceovih transformirank - recimo:
\(\displaystyle f(t)=e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \Rightarrow F(s)=\mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}=\frac{\omega}{(s+\alpha )^2 + \omega^2}\)
in
\(\displaystyle f(t)=t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t) \Rightarrow F(s)=\mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}=\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}\)
Množenje z \(u(t)\) seveda pomeni množenje z enotsko koračno funkcijo (torej: z 1), tako da ga praktično lahko odmisliš.
Re: Diferencialna enačba
No, saj se mi je zdelo, da je kakšna taka formula.
Že 2 dni pa se ubadam s tole nalogo, ki se pogosto pojavi na izpitu. Res, da ni povsem matematična, a morda jo bo kdo rešil. Naloga je že na pol rešena v rešitvah, zaustavi pa se mi takoj pri prvem koraku. Zraven sem nalepil še 3 podobne naloge.
Ne znam pa priti do enačb, ki sta obkroženi z rdečo.
Naj še povem, da je vzmet matematično zapisna le kot K, dušilka pa kot BD, kjer je d = d/dt.
Teorija iz knjige (bolj malo je je) ter 2 rešeni nalogi.
No, karkoli mi bo kdo pomagal, mi bo zelo koristilo.
Že 2 dni pa se ubadam s tole nalogo, ki se pogosto pojavi na izpitu. Res, da ni povsem matematična, a morda jo bo kdo rešil. Naloga je že na pol rešena v rešitvah, zaustavi pa se mi takoj pri prvem koraku. Zraven sem nalepil še 3 podobne naloge.
Ne znam pa priti do enačb, ki sta obkroženi z rdečo.
Naj še povem, da je vzmet matematično zapisna le kot K, dušilka pa kot BD, kjer je d = d/dt.
Teorija iz knjige (bolj malo je je) ter 2 rešeni nalogi.
No, karkoli mi bo kdo pomagal, mi bo zelo koristilo.
Re: Diferencialna enačba
Pač moraš le vedeti, da je v mehanskem sistemu zaporedno vezanih elementov sila enaka.
Sila v vzmeti je: \(F=Kz_v\)
Sila v dušilki je: \(F=B(\dot{x_v}-\dot{z_v})\)
Pri tem je \(z_v\) stisk vzmeti; za toliko se tudi razširi dušilka, tako da se skupno stisne za: \(x_v-z_v\) (pri tem predpostavimo \(x_v>z_v\), odvod razlike pomikov je seveda enak razliki odvodov pomikov).
Ko obe sili izenačimo in upoštevamo: \(z_v=\frac{n}{m}y_i\) (iz: \(\varphi \approx \tan \varphi=\frac{y_i}{m}=\frac{z_v}{n}\)), pridemo do željene enačbe.
Sila v vzmeti je: \(F=Kz_v\)
Sila v dušilki je: \(F=B(\dot{x_v}-\dot{z_v})\)
Pri tem je \(z_v\) stisk vzmeti; za toliko se tudi razširi dušilka, tako da se skupno stisne za: \(x_v-z_v\) (pri tem predpostavimo \(x_v>z_v\), odvod razlike pomikov je seveda enak razliki odvodov pomikov).
Ko obe sili izenačimo in upoštevamo: \(z_v=\frac{n}{m}y_i\) (iz: \(\varphi \approx \tan \varphi=\frac{y_i}{m}=\frac{z_v}{n}\)), pridemo do željene enačbe.
Re: Diferencialna enačba
Hvala ti za odgovore!
Zanima me še tale naloga. Dejansko osnovna, a je ne znam. Tista DESNA.
Zanima me še tale naloga. Dejansko osnovna, a je ne znam. Tista DESNA.
Re: Diferencialna enačba
Ja, tu gre za poznavanje osnovnih zakonov elektrike (po Kirchhoffu in po Ohmu) in impedanc električnih elementov.
Če začnem s slednjim:
Upor:
\(U=RI\)
Kondenzator:
\(\displaystyle e=CU \Rightarrow \underbrace{\frac{de}{dt}}_{I}=C\frac{dU}{dt}\)
Tuljava:
\(\displaystyle U=L\frac{dI}{dt}\)
V tvojem primeru uporabljate notacijo za diferencialni operator po času: \(\displaystyle D \equiv \frac{d}{dt}\).
Ta operator se vede podobno kot ulomek, s tem da npr. notacija \(\frac{1}{D}\) pomeni integriranje, ne pa npr. \(\frac{dt}{d}\), ampak to ti je verjetno že znano.
V skladu s to notacijo preideta zvezi za kondenzator in tuljavo v:
\(\displaystyle I=CDU \Leftrightarrow U=\frac{1}{CD}I\)
in
\(U=LDI\)
Impedance (upornosti) za upor, kondenzator in tuljavo so tako po vrsti: \(R\), \(\frac{1}{CD}\) in \(LD\). Te se v zaporedni vezavi seštevajo (isti tok, delitev napetosti) in vzporedni vezavi recipročno seštevajo (ista napetost, delitev tokov). Slednje ravno izhaja iz Kirchhoffovih zakonov.
Če se sedaj konkretno lotimo naloge:
Najprej se poslužimo Kirchhoffovega zakona, da je vsota napetosti v zaključeni zanki enaka 0 - za prvo zanko torej velja:
\(U_{R_1}+U_{C_1}-U_v=0\)
oz.
\(U_v=R_1I+\frac{1}{C_1D}I_1\)
Po drugem Kirchhoffovem zakonu je vsota tokov v vozlišču enaka 0:
\(I_1+I_2-I=0\)
Napetost na kondenzatorju \(C_2\) je:
\(U_i=\frac{1}{C_2D}I_2\)
Potrebujemo le še zvezo med \(I\) in\(I_2\). Kot že prej omenjeno imajo vzporedno vezani elementi enako napetost. Tako je \(C_1\) na isti napetosti (npr. U*) kot zaporedno vezana \(R_2\) in \(C_2\) (\(C_1\) je namreč vzporedno vezan s serijo \(R_2\) in \(C_2\)):
\(\displaystyle U^*=\frac{1}{C_1D}I_1=(R_2+\frac{1}{C_2D})I_2\)
Če v tej zvezi upoštevamo \(I_1=I-I_2\), dobimo:
\(\displaystyle \frac{1}{C_1D}I=(R_2+\frac{1}{C_1D}+\frac{1}{C_2D})I_2\)
Ko v enačbi za \(U_v\) upoštevamo zadnji dve zvezi, dobimo \(U_v\) odvisen le od \(I_2\). Ko zdelimo \(U_i\) in \(U_v\), se \(I_2\) pokrajša, zelo hitro pa pridemo do navedene rešitve.
Če začnem s slednjim:
Upor:
\(U=RI\)
Kondenzator:
\(\displaystyle e=CU \Rightarrow \underbrace{\frac{de}{dt}}_{I}=C\frac{dU}{dt}\)
Tuljava:
\(\displaystyle U=L\frac{dI}{dt}\)
V tvojem primeru uporabljate notacijo za diferencialni operator po času: \(\displaystyle D \equiv \frac{d}{dt}\).
Ta operator se vede podobno kot ulomek, s tem da npr. notacija \(\frac{1}{D}\) pomeni integriranje, ne pa npr. \(\frac{dt}{d}\), ampak to ti je verjetno že znano.
V skladu s to notacijo preideta zvezi za kondenzator in tuljavo v:
\(\displaystyle I=CDU \Leftrightarrow U=\frac{1}{CD}I\)
in
\(U=LDI\)
Impedance (upornosti) za upor, kondenzator in tuljavo so tako po vrsti: \(R\), \(\frac{1}{CD}\) in \(LD\). Te se v zaporedni vezavi seštevajo (isti tok, delitev napetosti) in vzporedni vezavi recipročno seštevajo (ista napetost, delitev tokov). Slednje ravno izhaja iz Kirchhoffovih zakonov.
Če se sedaj konkretno lotimo naloge:
Najprej se poslužimo Kirchhoffovega zakona, da je vsota napetosti v zaključeni zanki enaka 0 - za prvo zanko torej velja:
\(U_{R_1}+U_{C_1}-U_v=0\)
oz.
\(U_v=R_1I+\frac{1}{C_1D}I_1\)
Po drugem Kirchhoffovem zakonu je vsota tokov v vozlišču enaka 0:
\(I_1+I_2-I=0\)
Napetost na kondenzatorju \(C_2\) je:
\(U_i=\frac{1}{C_2D}I_2\)
Potrebujemo le še zvezo med \(I\) in\(I_2\). Kot že prej omenjeno imajo vzporedno vezani elementi enako napetost. Tako je \(C_1\) na isti napetosti (npr. U*) kot zaporedno vezana \(R_2\) in \(C_2\) (\(C_1\) je namreč vzporedno vezan s serijo \(R_2\) in \(C_2\)):
\(\displaystyle U^*=\frac{1}{C_1D}I_1=(R_2+\frac{1}{C_2D})I_2\)
Če v tej zvezi upoštevamo \(I_1=I-I_2\), dobimo:
\(\displaystyle \frac{1}{C_1D}I=(R_2+\frac{1}{C_1D}+\frac{1}{C_2D})I_2\)
Ko v enačbi za \(U_v\) upoštevamo zadnji dve zvezi, dobimo \(U_v\) odvisen le od \(I_2\). Ko zdelimo \(U_i\) in \(U_v\), se \(I_2\) pokrajša, zelo hitro pa pridemo do navedene rešitve.
Re: Diferencialna enačba
Aha. No, sem pogruntal.
Še tile dve vprašanji me matrata. Vse kar sem našel v knjigi je že napisano spodaj na sliki.
1. Kateri poli so dominantni? Vpliv katerih polov v prenosni funkciji lahko zanemarimo? Kdaj?
P.S.: Tisto vprašanje na sliki je prepisano malo narobe.
2. Kakšni pogoji morajo veljati, da ne pride do obremenitvenega problema? Kako ga lahko v praksi rešimo?
Tisto odebeljeno mi ni jasno. V knjigi je pa tole vse kar je.
Še tile dve vprašanji me matrata. Vse kar sem našel v knjigi je že napisano spodaj na sliki.
1. Kateri poli so dominantni? Vpliv katerih polov v prenosni funkciji lahko zanemarimo? Kdaj?
P.S.: Tisto vprašanje na sliki je prepisano malo narobe.
2. Kakšni pogoji morajo veljati, da ne pride do obremenitvenega problema? Kako ga lahko v praksi rešimo?
Tisto odebeljeno mi ni jasno. V knjigi je pa tole vse kar je.
Re: Diferencialna enačba
To so pa preveč specifična vprašanja zame.
Re: Diferencialna enačba
Je tale električna shema pravilna? V rešitvah drugačen rezultat....
Re: Diferencialna enačba
Rešitev se mi zdi pravilna.
Re: Diferencialna enačba
Kaj pa, če bi bil pri tej nalogi Xv obrnjen navzdol? Obrnem minuse in pluse za "Xv" in dobim:
Sila v vzmeti je: F = K * zv
Sila v dušilki je: F = B (zv' - x')
Rezultat bi bil dejansko enak. Kako so grafično prikazane te sile - Fv, Fb?
Sta možni le 2 varianti, kjer kaže Xv gor in Yi dol in obratno? Ni možno, da sta obe usmerjeni gor oz. dol (mi je logično, zakaj je tako, a vseeno sprašujem)?