Racionalna in iracionalna števila

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
dominik
Posts: 3
Joined: 8.10.2014 16:56

Racionalna in iracionalna števila

Post by dominik » 8.10.2014 17:27

Živjo!

Danes smo na faksu vzeli racionalna in iracionalna števila.

Ne razumem razlage (v priponki).

Zakaj 1/2 pokrijemo z intervalom širine 1/10, 1/3 pa z intervalom širine 1/100? Kaj smo s tem sploh dokazali?

Hvala.

(če ni priponke: predstavitev str. 7: https://www.scribd.com/doc/95879045/1-% ... na-algebra)

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Racionalna in iracionalna števila

Post by shrink » 8.10.2014 17:57

Žal se je treba registrirati za dostop do celotnega dokumenta.


User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Racionalna in iracionalna števila

Post by shrink » 8.10.2014 19:14

Mislim, da gre za preštevanje racionalnih števil v tem (Cantorjevem) stilu (glej drugo tabelo):

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s ... ructive.3F

Tommo
Posts: 109
Joined: 24.8.2007 14:06

Re: Racionalna in iracionalna števila

Post by Tommo » 10.10.2014 2:01

dominik wrote:Živjo!

Danes smo na faksu vzeli racionalna in iracionalna števila.

Ne razumem razlage (v priponki).

Zakaj 1/2 pokrijemo z intervalom širine 1/10, 1/3 pa z intervalom širine 1/100? Kaj smo s tem sploh dokazali?

Hvala.

(če ni priponke: predstavitev str. 7: https://www.scribd.com/doc/95879045/1-% ... na-algebra)
Dokazali smo prvič, da obstajajo iracionalna števila, ker smo vsako racionalno število prekrili s končnim intervalom, pa skupna dolžina teh intervalov ni presegla dolžine intervala [0,1] in drugič, da je iracionalnih števil več kot racionalnih, pri čemer pa seveda ne samo v razmerju 90:10, saj teh 10 % predstavlja samo zgornjo mejo za oceno (lahko bi recimo začeli z 0,001 in tako delež racionalnih števil zmanjšali na 0,1 %), dejansko pa množica racionalnih števil ni gosta in je njena skupna "dolžina" na intervalu [0,1] kar 0, vendar pa je to malo težje dokazati.

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Racionalna in iracionalna števila

Post by Zajc » 10.10.2014 12:48

Tommo wrote:Dokazali smo prvič, da obstajajo iracionalna števila, ker smo vsako racionalno število prekrili s končnim intervalom, pa skupna dolžina teh intervalov ni presegla dolžine intervala [0,1]
Samo ena pripomba. To najbrž ni dokaz, da obstajajo iracionalna števila. Ta dokaz namreč že uporablja koncept "dolžine" intervala, le-ta pa že predpostavlja nekatere lastnosti realnih števil (npr., med njimi tudi to, da jih je "bistveno več" od racionalnih). Načeloma bi se lahko zgodilo, da bi bilo vsako realno število že kar racionalno. V tem primeru bi dokaz povedal le, da je dolžina intervala [0,1] v resnici enaka 0. Kar bi bilo seveda povsem konsistentno - ne bi bilo v protislovju z ničemer.

V rigoroznem smislu tekst v začetnem linku ni dokaz za nič, ponuja pa idejo, zakaj naj bi bilo realnih števil "več" od realnih. "Več" v smislu, da je "volumen" (oziroma "dolžina") racionalnih števil manjša od dolžine realnih števil. Pri čemer pa pojem "dolžine" seveda sploh ni točno definiran. Oziroma, ni utemeljeno bistveno: zakaj je "dolžina" intervala [0,1] enaka 1.

Tommo
Posts: 109
Joined: 24.8.2007 14:06

Re: Racionalna in iracionalna števila

Post by Tommo » 10.10.2014 21:50

Zajc wrote:
Tommo wrote:Dokazali smo prvič, da obstajajo iracionalna števila, ker smo vsako racionalno število prekrili s končnim intervalom, pa skupna dolžina teh intervalov ni presegla dolžine intervala [0,1]
Samo ena pripomba. To najbrž ni dokaz, da obstajajo iracionalna števila. Ta dokaz namreč že uporablja koncept "dolžine" intervala, le-ta pa že predpostavlja nekatere lastnosti realnih števil (npr., med njimi tudi to, da jih je "bistveno več" od racionalnih). Načeloma bi se lahko zgodilo, da bi bilo vsako realno število že kar racionalno. V tem primeru bi dokaz povedal le, da je dolžina intervala [0,1] v resnici enaka 0. Kar bi bilo seveda povsem konsistentno - ne bi bilo v protislovju z ničemer.

V rigoroznem smislu tekst v začetnem linku ni dokaz za nič, ponuja pa idejo, zakaj naj bi bilo realnih števil "več" od realnih. "Več" v smislu, da je "volumen" (oziroma "dolžina") racionalnih števil manjša od dolžine realnih števil. Pri čemer pa pojem "dolžine" seveda sploh ni točno definiran. Oziroma, ni utemeljeno bistveno: zakaj je "dolžina" intervala [0,1] enaka 1.
Koncept dolžine lahko verjetno definiramo tudi če ne predpostavimo iracionalnih števil? In dokaz bi bil v tem, da če je dolžina intervala [0,1] enaka 0, potem je tako tudi za vsak podinterval intervala [0,1]. In potem ne zadostimo osnovni čisto elementarni predpostavki, da prekrivamo z intervali neničelne dolžine, pa kakorkoli je dolžina že (smiselno) definirana. Res pa je tak dokaz bolj "posreden".

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Racionalna in iracionalna števila

Post by Zajc » 11.10.2014 11:57

Tommo wrote:Koncept dolžine lahko verjetno definiramo tudi če ne predpostavimo iracionalnih števil? In dokaz bi bil v tem, da če je dolžina intervala [0,1] enaka 0, potem je tako tudi za vsak podinterval intervala [0,1]. In potem ne zadostimo osnovni čisto elementarni predpostavki, da prekrivamo z intervali neničelne dolžine, pa kakorkoli je dolžina že (smiselno) definirana.
Če ima interval [0,1] dolžino 0, potem imajo vsi intervali dolžino 0 in "dokaz" nam v tem primeru ne pove čisto nič (racionalnih števil pač ne moremo prekriti z intervali neničelne dolžine, ampak saj tudi celega intervala [0,1] ne moremo prekriti z intervali neničelne dolžine po isti logiki, ker intervali neničelne dolžine pač ne obstajajo).

Če hočemo dokazati, da ima interval [0,1] dolžino 1, moramo najprej definirati, kaj je "dolžina". Za intervale to definirati sicer ni problem, pri razširjanju te definicije na unije intervalov pa je treba biti bolj pazljiv. "Dolžino" se ponavadi smatra kot Lebsegueovo mero, kot je definirana tukaj. Po tej definiciji je jasno, da imajo racionalna števila mero 0, saj jih lahko pokrijemo s poljubno majhnimi intervali. Da pa ima interval [0,1] mero 1 (in ne 0), pa je dokazano tukaj. Ta dokaz bistveno uporabi ključno lastnost realnih števil, to je polnost (Complete metric space). Polnost je tista lastnost, ki nam pove, zakaj je realnih števil "bistveno več" od racionalnih.

Post Reply