Page 1 of 1

Racionalna in iracionalna števila

Posted: 8.10.2014 17:27
by dominik
Živjo!

Danes smo na faksu vzeli racionalna in iracionalna števila.

Ne razumem razlage (v priponki).

Zakaj 1/2 pokrijemo z intervalom širine 1/10, 1/3 pa z intervalom širine 1/100? Kaj smo s tem sploh dokazali?

Hvala.

(če ni priponke: predstavitev str. 7: https://www.scribd.com/doc/95879045/1-% ... na-algebra)

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 8.10.2014 17:57
by shrink
Žal se je treba registrirati za dostop do celotnega dokumenta.

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 8.10.2014 18:00
by dominik

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 8.10.2014 19:14
by shrink
Mislim, da gre za preštevanje racionalnih števil v tem (Cantorjevem) stilu (glej drugo tabelo):

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s ... ructive.3F

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 10.10.2014 2:01
by Tommo
dominik wrote:Živjo!

Danes smo na faksu vzeli racionalna in iracionalna števila.

Ne razumem razlage (v priponki).

Zakaj 1/2 pokrijemo z intervalom širine 1/10, 1/3 pa z intervalom širine 1/100? Kaj smo s tem sploh dokazali?

Hvala.

(če ni priponke: predstavitev str. 7: https://www.scribd.com/doc/95879045/1-% ... na-algebra)
Dokazali smo prvič, da obstajajo iracionalna števila, ker smo vsako racionalno število prekrili s končnim intervalom, pa skupna dolžina teh intervalov ni presegla dolžine intervala [0,1] in drugič, da je iracionalnih števil več kot racionalnih, pri čemer pa seveda ne samo v razmerju 90:10, saj teh 10 % predstavlja samo zgornjo mejo za oceno (lahko bi recimo začeli z 0,001 in tako delež racionalnih števil zmanjšali na 0,1 %), dejansko pa množica racionalnih števil ni gosta in je njena skupna "dolžina" na intervalu [0,1] kar 0, vendar pa je to malo težje dokazati.

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 10.10.2014 12:48
by Zajc
Tommo wrote:Dokazali smo prvič, da obstajajo iracionalna števila, ker smo vsako racionalno število prekrili s končnim intervalom, pa skupna dolžina teh intervalov ni presegla dolžine intervala [0,1]
Samo ena pripomba. To najbrž ni dokaz, da obstajajo iracionalna števila. Ta dokaz namreč že uporablja koncept "dolžine" intervala, le-ta pa že predpostavlja nekatere lastnosti realnih števil (npr., med njimi tudi to, da jih je "bistveno več" od racionalnih). Načeloma bi se lahko zgodilo, da bi bilo vsako realno število že kar racionalno. V tem primeru bi dokaz povedal le, da je dolžina intervala [0,1] v resnici enaka 0. Kar bi bilo seveda povsem konsistentno - ne bi bilo v protislovju z ničemer.

V rigoroznem smislu tekst v začetnem linku ni dokaz za nič, ponuja pa idejo, zakaj naj bi bilo realnih števil "več" od realnih. "Več" v smislu, da je "volumen" (oziroma "dolžina") racionalnih števil manjša od dolžine realnih števil. Pri čemer pa pojem "dolžine" seveda sploh ni točno definiran. Oziroma, ni utemeljeno bistveno: zakaj je "dolžina" intervala [0,1] enaka 1.

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 10.10.2014 21:50
by Tommo
Zajc wrote:
Tommo wrote:Dokazali smo prvič, da obstajajo iracionalna števila, ker smo vsako racionalno število prekrili s končnim intervalom, pa skupna dolžina teh intervalov ni presegla dolžine intervala [0,1]
Samo ena pripomba. To najbrž ni dokaz, da obstajajo iracionalna števila. Ta dokaz namreč že uporablja koncept "dolžine" intervala, le-ta pa že predpostavlja nekatere lastnosti realnih števil (npr., med njimi tudi to, da jih je "bistveno več" od racionalnih). Načeloma bi se lahko zgodilo, da bi bilo vsako realno število že kar racionalno. V tem primeru bi dokaz povedal le, da je dolžina intervala [0,1] v resnici enaka 0. Kar bi bilo seveda povsem konsistentno - ne bi bilo v protislovju z ničemer.

V rigoroznem smislu tekst v začetnem linku ni dokaz za nič, ponuja pa idejo, zakaj naj bi bilo realnih števil "več" od realnih. "Več" v smislu, da je "volumen" (oziroma "dolžina") racionalnih števil manjša od dolžine realnih števil. Pri čemer pa pojem "dolžine" seveda sploh ni točno definiran. Oziroma, ni utemeljeno bistveno: zakaj je "dolžina" intervala [0,1] enaka 1.
Koncept dolžine lahko verjetno definiramo tudi če ne predpostavimo iracionalnih števil? In dokaz bi bil v tem, da če je dolžina intervala [0,1] enaka 0, potem je tako tudi za vsak podinterval intervala [0,1]. In potem ne zadostimo osnovni čisto elementarni predpostavki, da prekrivamo z intervali neničelne dolžine, pa kakorkoli je dolžina že (smiselno) definirana. Res pa je tak dokaz bolj "posreden".

Re: Racionalna in iracionalna števila

Posted: 11.10.2014 11:57
by Zajc
Tommo wrote:Koncept dolžine lahko verjetno definiramo tudi če ne predpostavimo iracionalnih števil? In dokaz bi bil v tem, da če je dolžina intervala [0,1] enaka 0, potem je tako tudi za vsak podinterval intervala [0,1]. In potem ne zadostimo osnovni čisto elementarni predpostavki, da prekrivamo z intervali neničelne dolžine, pa kakorkoli je dolžina že (smiselno) definirana.
Če ima interval [0,1] dolžino 0, potem imajo vsi intervali dolžino 0 in "dokaz" nam v tem primeru ne pove čisto nič (racionalnih števil pač ne moremo prekriti z intervali neničelne dolžine, ampak saj tudi celega intervala [0,1] ne moremo prekriti z intervali neničelne dolžine po isti logiki, ker intervali neničelne dolžine pač ne obstajajo).

Če hočemo dokazati, da ima interval [0,1] dolžino 1, moramo najprej definirati, kaj je "dolžina". Za intervale to definirati sicer ni problem, pri razširjanju te definicije na unije intervalov pa je treba biti bolj pazljiv. "Dolžino" se ponavadi smatra kot Lebsegueovo mero, kot je definirana tukaj. Po tej definiciji je jasno, da imajo racionalna števila mero 0, saj jih lahko pokrijemo s poljubno majhnimi intervali. Da pa ima interval [0,1] mero 1 (in ne 0), pa je dokazano tukaj. Ta dokaz bistveno uporabi ključno lastnost realnih števil, to je polnost (Complete metric space). Polnost je tista lastnost, ki nam pove, zakaj je realnih števil "bistveno več" od racionalnih.