Abstraktna Algebra

[subic.alja]

Pozdravljeni!
Potrebujem pomoč pri naslednji nalogi:

Dokaži, da iz H <= G in H' <= G' sledi H x H' <= G x G' (torej, direktni produkt podgrup je
podgrupa direktnega produkta). Kaj pa sledi, če sta H in H' edinki? Dokaži. Nato s protiprimerom
v Z2 x Z2 (Z2 = {0,1}) pokaži, da obratno ne velja: ni nujno vsaka podgrupa v direktnem produktu dobljena kot
direktni produkt podgrup njegovih členov.

[Zajc]

V nalogi je precej več pisanja kot razmišljanja. Naj bo \(a,b\in H\times H'\). Pišimo \(a=(g,g')\) in \(b=(h,h')\), kjer je \(g,h\in H\) in \(g',h'\in H'\). Potem je \(ab^{-1}=(g,g')(h,h')^{-1}=(g,g')(h^{-1},h'^{-1})=(gh^{-1},g'h'^{-1})\in H\times H'\), saj \(gh^{-1}\in H\) in \(g'h'^{-1}\in H'\).

Če sta \(H\) in \(H'\) edinki, je \(H\times H'\) edinka v \(G\times G'\). Res, če je \(a=(g,g')\in G\times G'\) in \(b=(h,h')\in H\times H'\), je \(aba^{-1}=...podoben postopek...=(ghg^{-1},g'h'g'^{-1})\in H\times H'\), saj \(ghg^{-1}\in H\) in \(g'h'g'^{-1}\in H'\).

V grupi \(G=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\) lahko vzamemo podgrupo \(H=\{(0,0),(1,1)\}\); ta niti kot množica ni kartezični produkt dveh podmnožic v \(\mathbb{Z}_2\).

[genovefa29]

Pozdravljeni,

tudi jaz bi potrebovala pomoč pri enem dokazu, če ima kdo čas pomagati:
Naj bosta G in G' izomorfni. Potem imata G in G' enako zaporedje redov.

LP

[Zajc]

Pozdravljeni,

tudi jaz bi potrebovala pomoč pri enem dokazu, če ima kdo čas pomagati:
Naj bosta G in G' izomorfni. Potem imata G in G' enako zaporedje redov.

LP

Naj bo \(f:G\to G'\) izomorfizem grup in naj bodo \(g_1,\ldots,g_n\) vsi (paroma različni) elementi v \(G\) reda \(k\). Potem so \(f(g_1),\ldots,f(g_n)\) elementi reda \(k\) v \(G'\) (izomorfizem ohranja red), ki so tudi paroma različni (izomorfizem je injektivna preslikava, zato slika različne elemente v različne elemente). Torej je število elementov reda \(k\) v grupi \(G'\) večje ali enako številu elementov v \(G\) reda \(k\). Enak sklep nam da tudi simetrično (št. elementov reda \(k\) v \(G\) je večje ali enako št. elementov reda \(k\) v \(G'\)), torej sta števili enaki. Ker to velja za vse \(k\), sta zaporedji enaki.

Izomorfizem grup ohranja vse, kar si izmisliš.

Recimo tole: za končno grupo \(G\) definiramo pitagorejsko število kot število vseh elementov \(x\in G\), za katere obstajata \(y,z\in G\), tako da redi elementov \(x,y,z\) tvorijo pitagorejsko trojico. Izrek: izomorfni grupi imata enaki pitagorejski števili.

Ali pa: za grupo \(G\) definiramo zlato število kot število tistih podgrup \(H\le G\), za katere velja, da vsaka podgrupa \(G'\le G\), ki ima končen presek z grupo \(H\), vsebuje natanko toliko elementov reda \(n=|H\cap G'|\), kolikor je elementov reda \(n^2\) v grupi \(H\). Izrek: izomorfni grupi imata enaki zlati števili.

[subic.alja]

Pozdravljeni!
Ponovno imam vprašanje in sicer me zanima:

Imam naravno delovanje grupe simetrij pravilne tristrane prizme na množici stranskih ploskev. Ali sta zrcaljenje preko vodoravne ravnine in zrcaljenje čez navpično ravnino skozi 3 in 6 stabilizatorja stranske ploskve 1,2,5,4?

LP Alja