Kvarkadabra forum

Hej.
Po kakšnem postopku preveriš da so 4 točke v prostoru komplanarne?
Imam namreč tako nalogo kot je spodaj v priponki...

Tako, da pokažeš linearno odvisnost vektorjev: npr. PQ, PR in PS. Analogno to implicira njihov mešani produkt enak 0.

Lahko morda postopek računanja na konkretnem primeru?
Že nekaj časa se namreč ''štrikam'' s tem mešanim produktom pa ne vem kje sem nekaj zgrešila..ker ne pridem do rešitve (ki naj bi bila 1/4).

V konkretnem primeru ničelni mešani produkt ni dobra ideja, bolje je izhajati iz linearne odvisnosti vektorjev; torej:

Če so točke P, Q, R in S komplanarne (ležijo na isti ravnini), potem so npr. vektorji \(\overrightarrow{PS}\), \(\overrightarrow{PQ}\) in \(\overrightarrow{PR}\) linearno odvisni, t.j., vsak vektor je možno izraziti kot linearno kombinacijo drugih dveh vektorjev, npr.:

\(\overrightarrow{PS}=\alpha\overrightarrow{PR}+\beta\overrightarrow{PQ}\).

Sedaj moraš posamezne vektorje izraziti z nekimi izbranimi baznimi vektorji v prostoru (za dani primer ti predlagam naslednjo izbiro baze: \(\overrightarrow{AB}\),\(\overrightarrow{AC}\) in \(\overrightarrow{AD}\)) in to vstaviti v gornjo zvezo. Ker so bazni vektorji po definiciji linearno neodvisni, lahko tvorijo le trivialno linearno kombinacijo:

\(0\cdot\overrightarrow{AB}+0\cdot\overrightarrow{AC}+0\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\).

Vsi trije koeficienti morajo torej biti enaki nič, kar bo predstavljalo tri enačbe za tri neznanke \(\alpha\), \(\beta\) in \(x\). Z rešitvijo tega sistema enačb prideš seveda tudi do željene rešitve \(x\) (sem na hitro poračunal in res pride \(x=\frac{1}{4}\)).