Zaporedja, stekališča

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
urska112¸
Prispevkov: 10
Pridružen: 16.10.2014 19:25

Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a urska112¸ » 15.11.2014 8:27

Živjo :)
Imam problem, ker ne vem, kako določiti stekališča zaporedja. Pri danem primeru (slika) sem poskusila na n vstaviti nekaj števil (n = 1, 2, 3,...) in se orientirati iz tega, vendar nisem uspela priti do nobene pametne ugotovitve...

Naloga sprašuje tudi, ali je zaporedje konvergentno ali pa omejeno. Kako pa je s tem?

Hvala za pomoč :)
Priponke
Capture1.PNG
Capture1.PNG (2.24 KiB) Pogledano 3046 krat

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14300
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a shrink » 15.11.2014 17:49

\(\lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \cos(\frac{n\pi}{3})\).

Prva limita je 1, druga limita pa ne obstaja: vrednosti se periodično (vsakih \(2\pi\)) izmenjujejo med:

\(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\),

\(\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\),

\(\cos(\frac{3\pi}{3})=-1\),

\(\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}\),

\(\cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}\),

\(\cos(\frac{6\pi}{3})=1\).

To so tudi stekališča tega zaporedja: \(\frac{1}{2}\), \(1\), \(-\frac{1}{2}\), \(-1\) (torej štiri različna).

urska112¸
Prispevkov: 10
Pridružen: 16.10.2014 19:25

Re: Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a urska112¸ » 15.11.2014 18:46

Aja, tako gre to!! Najlepša hvala!! :D

urska112¸
Prispevkov: 10
Pridružen: 16.10.2014 19:25

Re: Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a urska112¸ » 20.11.2014 21:52

Hej, še eno vprašanje
Kako pa pokazti da je to zaporedje padajoče in konvergentno?
Hvala že vnaprej...
Priponke
Capture.PNG
Capture.PNG (2.14 KiB) Pogledano 2904 krat

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14300
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a shrink » 21.11.2014 16:48

Da je padajoče, mora za vsak naravni \(n\) veljati:

\(a_{n+1}<a_n\)

oz.

v konkretnem primeru:

\(\displaystyle\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}<\frac{(n!)^2}{(2n)!}\).

Ob upoštevanju znanih zvez za fakultete: \((n+1)!=(n+1)n!\) in \((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!\) zlahka ugotoviš, da neenakost velja za vsak naravni \(n\).

Za konvergenco moraš dokazati, da ima limito (jo pač izračunaš: zlahka ugotoviš, da je 0).

zaki
Prispevkov: 4
Pridružen: 5.2.2015 17:59

Re: Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a zaki » 12.6.2015 10:43

Dober dan
imam problem pri dokazovanju stekališč.
zaporedje rekurzivno podano a(n+1)=1 - an^2 in začetnim členom a0=1/2. Dokaži da ima 2 stekališči.
Pa še dodan nasvet, ki ga neznam uporabit. ( Zapiši rekurzivno zvezo, ki ji ustrezata podzaporedji lihih in sodih členov.)
jest sem napisal a(2n+1)=1- a(2n)^2
ter a(2n)=1-a(2n-1)^2
sedaj pa neznam teh dveh podzaporedij( če sta sploh pravilni) analizirat in pokazat,da imata vsaka svoje stekališče.
Intuitivno mi je jasno, da ima zaporedje 2 stekališči( mislim da 0 in 1) ampak nevem kako to dokazati.
lp

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14300
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zaporedja, stekališča

Odgovor Napisal/-a shrink » 12.6.2015 21:18

Rekurzivno zvezo za podzaporedji lihih in sodih členov dobiš, če izraziš \(a_{n+1}\) in \(a_{n-1}\) preko zaporedne rabe rekurzivne formule:

\(a_{n+1}=1-a_n^2=(1-a_n)(1+a_n)\)

\(a_{n}=1-a_{n-1}^2\)

Če zadnjo zvezo upoštevaš v prvi, dobiš:

\(a_{n+1}=a_{n-1}^2(2-a_{n-1}^2)\)

Če je \(n=2k\), gre za podzaporedje lihih členov, če je \(n=2k+1\) gre za podzaporedje sodih členov.

Stekališča poiščeš, če v gornjo rekurzivno zvezo vstaviš \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=s\). Dobiš enačbo četrte stopnje za \(s\): stekališča so tiste ničle, ki so v intervalu \([0,1]\), znotraj katerega je zaporedje omejeno.

Odgovori