Oddaljenost od točke

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Dijak123
Prispevkov: 4
Pridružen: 20.11.2014 18:58

Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a Dijak123 » 20.11.2014 19:15

Imamo dve točki A in B.

Kje ležijo točke, za katere velja, da je njihova oddaljenost od točke A enaka x^2 od točke B pa x^2 + c (neka konstanta) ??

Bil bi zelo vesel tudi, če kdo navede kako litaraturo ali spletno stran, kjer bi lahko dobila rešitev te naloge. :-)

V naprej hvala za odgovore.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14372
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a shrink » 21.11.2014 16:27

Na ravnini je to presečišče krožnic (dve točki) s polmeroma x in x+c (sklepam, da je kvadrat pri x-u v navodilu odveč).

Dijak123
Prispevkov: 4
Pridružen: 20.11.2014 18:58

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a Dijak123 » 21.11.2014 17:35

Najlepša hvala za odgovor!! :D

Imam pa še eno vprašanje:

Kje ležijo vse take točke C, za katere velja, da je kvadrat razdalje od točke A do točke C za neko konstanto večji od kvadrata razdalje od točke C do dane točke B.

Torej |AC|^2 = |CB|^2 + const. (za neko vnaprej dano konstanto const.).

Bil bi vesel rešitve, ali pa vsaj namiga kako pridem do rešitve. Oz. česarkoli, kar bi me pripeljalo do rešitve.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14372
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a shrink » 21.11.2014 18:20

No, očitno tisti kvadrat ni bil tam po naključju (v izogib nejasnostnim je bolje, da navajaš originalno besedilo).

Na ravnini je drugače problem dokaj enostaven; če imaš dani točki \(A(x_A,y_A)\) in \(B(x_B,y_B)\) in iščeš točko \(C(x,y)\), da velja:

\(AC^2=BC^2+k\),

potem je najbolje, da v to zvezo vstaviš kvadrata razdalj po Pitagorovem izreku:

\(AC^2=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2\)

\(BC^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2\)

Tako dobiš enačbo, ki kaže na zvezo med x in y in ti ne preostane drugega, da ugotoviš, kakšno krivuljo v ravnini ta predstavlja: če neseš \(BC^2\) na drugo stran enačbe, dobiš razliki kvadratov za člene z x in y, ki ju lahko razcepiš, tako da se znebiš kvadratov pri x in y. Rezultat je enačba premice na ravnini.

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 30.11.2014 10:51

Upam, da mi Dijak123 ne bo zameril, če se mu pridružim z mojim vprašanjem.
Torej imam enačbo ravnine: Ax+By+Cz+D=0, koordinate točke T (x1, y1, z1) in izračunano razdaljo d med točko T in ravnino. Sedaj me zanima, kako lahko na ravnini določim koordinate točke dotika daljice d (iz točke T na ravnino)?

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 30.11.2014 11:20

Mislim, da sem našel rešitev.
Razdalja med točko in ravnino je hkrati tudi normala na ravnino. Če sedaj izračunam smerne kosinuse in z njimi pomnožim razdaljo d, dobim projekcije razdalje na osi koordinatnega sistema. Te projekcije potem prištejem koordinatam točke in dobim koordinate dotikališča. Upam, da imam prav.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14372
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a shrink » 30.11.2014 14:38

kvarkel napisal/-a:Mislim, da sem našel rešitev.
Razdalja med točko in ravnino je hkrati tudi normala na ravnino. Če sedaj izračunam smerne kosinuse in z njimi pomnožim razdaljo d, dobim projekcije razdalje na osi koordinatnega sistema. Te projekcije potem prištejem koordinatam točke in dobim koordinate dotikališča. Upam, da imam prav.
To ne bo držalo; razdaljo točke do ravnine se računa na ta način (in podobno tudi koordinate projekcije točke na ravnino - namesto 2d pač vzameš d):

viewtopic.php?p=92014#p92014

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 30.11.2014 17:15

Razdaljo sem računal tako:
\(d=(Ax1+By1+Cz1+D)/\sqrt{A2+B2+C2}\)
\(cosa=A/\sqrt{A2+B2+C2}\) in enako še cos b in cos g
cos a*d=dx, cos b*d=dy in cos g*d=dz
x'=x1+dx, y'=y1+dy in z'=z1+dz
Preizkus: Ax'+By'+Cz'-D=0 in
d' (razdalja med T in T') =d
Sem pa naredil tudi preizkus v živo. Izbral sem točko na računalniku, za ravnino sem uporabil monitor in se mi je po mojem postopku izšlo.

Opravičujem se zaradi zapisa formul. Se še nisem imel časa poglobiti, kako se vnašajo v forumu.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14372
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Oddaljenost od točke

Odgovor Napisal/-a shrink » 1.12.2014 1:13

No, saj ta formula za razdaljo ravno izhaja iz:

\(d=(\vec{r}-\vec{r_0})\cdot\hat{\vec{n}}\),

tvoj račun koordinat projekcije T na ravnino (T'), pa je tudi ekvivalenten:

\(\overrightarrow{T'T}=d\hat{\vec{n}}\Rightarrow\vec{r'}=\vec{r}-\overrightarrow{T'T}}\)

saj je normirana normala pač enaka:

\(\displaystyle\hat{\vec{n}}=\frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\).

Seveda je treba paziti na predznak \(\overrightarrow{T'T}\) in \(\hat{\vec{n}}\).

Odgovori