Pozdravljeni, imam naslednjo nalogo:
Naj bo \(f:[0,\infty] \to \mathbb{R}\) zvezna funkcija in \(a_0<a_1< \cdots\) zaporedje vseh ničel funkcije f. Denimo, da funkcija v vsaki ničli zamenja predznak, da zaporedje \(c_k=\left|\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(x) dx \right|\) monotono konvergira proi 0 in, da velja \(\lim_{n \to \infty}a_n=\infty.\) Dokazat moram, da tedaj obstaja izlimitiran integral \(\int_0^{\infty} f(x) dx.\)
Naloge sem se nekako lotil na dva načina vendar pri obeh ne pridem do konca.
1. Naj bodo točke \(g_n\) globalni ekstremi funkcije f na posameznih intervalih med dvema zaporednima ničlama, torej \(g_n \in [a_{j-1},a_j]; n \in \mathbb{N}, \ j \in \{2,3,\cdots\}.\) Vemo, da je vrsta \(\sum_{n=1}^{\infty} g_n\) alternirajoča vrsta. Zaporedje \(\{g_n\}_{n=1}^{\infty}\), pa je padajoče zaporedje z limito 0. Po Leibnitzovem kriteriju torej \(\sum g_n\) konvergira. Potem ne vem več kako naprej, če se sploh da.
2. Ker je f zvezna na \([0,\infty]\) je integrabilna tudi na vsakem od intervalov \([a_{k-1},a_k].\) Naj bo \(\epsilon >0.\) Sedaj iščem tak \(B< \infty\), da bo \(\left| \int_b^{b'} f(x) dx \right| < \epsilon,\) za vse \(b,b' > B\), ker potem po izreku obstaja \(\int_0^{\infty} f(x) dx.\). Iz pogoja da \(c_k=\left|\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(x) dx \right|\) monotono konvergira proti 0, vemo, da za vsak \(\epsilon >0\) obstaja \(h\), da velja \(\left| \int_{a_k}^{a_{k+1}} f(x) dx \right| < \epsilon\) za vsak \(k \ge h.\) To mi je nekak logično, da bodo slej kot prej vse ploščine od nekot naprej pod \(\epsilon\), glede na to, da zaporedje ploščin med zaporednima ničlama funkcije f monotono konvergira proti 0, sam ni mi jasno, kako naj to dejansko pokažem.
Hvala za kakršno koli pomoč.
Lep pozdrav
Izlimitiran integral
Re: Izlimitiran integral
Naj bo \(d_k=\int_{a_k}^{a_{k+1}}f(x)dx\), \(k\ge 0\). Potem \(\sum d_k\) konvergira po Leibnizovem kriteriju k številu \(d\). Po definiciji pokažemo, da je \(\int_{a_0}^\infty f(x)dx=d\):
Naj bo \(\epsilon>0\).
Ker \(\sum d_k\) konvergira proti \(d\), obstaja \(k_1\), tako da je \(|\sum_{i=0}^{k-1}{d_i-d|<\frac{\epsilon}{2}\) za vsak \(k\ge k_1\).
Ker tudi zaporedje \(d_k\) konvergira proti \(0\), obstaja \(k_2\), tako da je \(|d_k|<\frac{\epsilon}{2}\) za vsak \(k\ge k_2\).
Naj bo \(k_0=\textnormal{max}\{k_1,k_2\}\).
Izberimo poljuben \(R\ge a_{k_0}\). Potem obstaja \(k\ge k_0\), da je \(R\in[a_k,a_{k+1}]\) (tu uporabimo, da je \(\lim_{n\to \infty}a_n=\infty\)). Funkcija \(f\) je na celem intervalu \([a_k,a_{k+1}]\) enako predznačena, torej je \(|\int_{a_k}^Rf(x)dx|\le|\int_{a_k}^{a_{k+1}}f(x)dx|=|d_k|<\frac{\epsilon}{2}\), saj je \(k\ge k_2\).
Velja tudi \(|\sum_{i=0}^{k-1}d_i-d|<\frac{\epsilon}{2}\), saj je \(k\ge k_1\).
Torej je \(|\int_{a_0}^Rf(x)dx-d|=|\sum_{i=0}^{k-1}d_k+\int_{a_k}^Rf(x)dx-d|\le\) \(|\sum_{i=0}^{k-1}d_k-d|+|\int_{a_k}^Rf(x)dx|\le\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\).
Naj bo \(\epsilon>0\).
Ker \(\sum d_k\) konvergira proti \(d\), obstaja \(k_1\), tako da je \(|\sum_{i=0}^{k-1}{d_i-d|<\frac{\epsilon}{2}\) za vsak \(k\ge k_1\).
Ker tudi zaporedje \(d_k\) konvergira proti \(0\), obstaja \(k_2\), tako da je \(|d_k|<\frac{\epsilon}{2}\) za vsak \(k\ge k_2\).
Naj bo \(k_0=\textnormal{max}\{k_1,k_2\}\).
Izberimo poljuben \(R\ge a_{k_0}\). Potem obstaja \(k\ge k_0\), da je \(R\in[a_k,a_{k+1}]\) (tu uporabimo, da je \(\lim_{n\to \infty}a_n=\infty\)). Funkcija \(f\) je na celem intervalu \([a_k,a_{k+1}]\) enako predznačena, torej je \(|\int_{a_k}^Rf(x)dx|\le|\int_{a_k}^{a_{k+1}}f(x)dx|=|d_k|<\frac{\epsilon}{2}\), saj je \(k\ge k_2\).
Velja tudi \(|\sum_{i=0}^{k-1}d_i-d|<\frac{\epsilon}{2}\), saj je \(k\ge k_1\).
Torej je \(|\int_{a_0}^Rf(x)dx-d|=|\sum_{i=0}^{k-1}d_k+\int_{a_k}^Rf(x)dx-d|\le\) \(|\sum_{i=0}^{k-1}d_k-d|+|\int_{a_k}^Rf(x)dx|\le\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\).