Razne matematične naloge

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Alex
Prispevkov: 2
Pridružen: 19.5.2015 23:40

Razne matematične naloge

Odgovor Napisal/-a Alex » 20.5.2015 1:11

Živijo!

Prosim če mi kdo pomaga pri naslednjih nalogah:

1.NALOGA:
Pokaži da so absolutne vrednosti koeficientov v razvoju (1+x)^(-3) v Taylorjevo vrsto trikotna števila.
2.NALOGA:
Hiperbolično spiralo dobimo tako, da vijačnico
x = a cos(t)
y = a sin(t)
z = bt
iz neke točke (0,0,h) na njeni osi projiciramo na ravnino z = 0. Napiši enačbo hiperbolične spirale v parametrični in polarni obliki ter jo nato skiciraj.

3. NALOGA:
V enakokraki trikotni z osnovnico 12 in krakoma 10 včrtaj kvadrat.

4. NALOGA:
Dokaži da se žarki s smerjo (0,-1) od parabole z enačbo 4y = x^2 odbijejo skozi točko (0,1).

5. NALOGA:
S pomočjo razcepa na parcialne ulomke poišči vsoto Leibnitzove vrste:ž
1+ 1/3+1/6+....+1/((1/2)n(n+1))

6.NALOGA:
Za p>0 je dana parabola z enačbo:
y^2 +2px=0
Lahko definiramo cisoido kot krivuljo, sestavljena iz točk ki so pravokotne projekcije temena parabole na vse možne tangente parabole.Napiši enačbo cisoide v parametrični polarni obliki.

7. NALOGA:
Vzemimo krožni izsek OAB z vrhom O in polmerom 1.Točka Q naj z enakomerno hitrostjo potuje po loku AB, točka R pa po kraku OB. Točki Q in R naj začneta potovati istočasno proti točki B, R iz točke O in Q iz točke A, premikata pa naj se tako hitro da hkrati prispeta v točko B.Kvadratrisa je krivulja, ki jo sestavljajo preseki daljice OQ s pravokotnico na OB v točki R v vsakem trenutku tega gibanja.
Krožni izsek postavimo v koordinatni sistem tako, da je O(0,0), A(1,0) in B(0,1).Zapiši eksplicitno enačbo kvadratrise x=f(y).V primeru ko je R=0, ustrezne točke na kvadratrisi ne moremo določiti. Katero točko (x,0) moramo dodati kvadratrisi, da bo f zvezna v y=0.

8. NALOGA:
Skiciraj in poišči eksplicitno enačbo krivulje, ki je definirana takole:
Nariši krožnico s središčem (0,a/2) in polmerom a/2. Potegni vzporednico abscisne osi y=a. Naj točka P leži na premici y=a. Poveži izhodišče koordinatnega sistema O(0,0) s točko P(x_1,a). Ordinata presečišča daljice OP s krožnico naj bo z_1. Krivulja je množica vseh točk oblike Q(x_1,z_1), kjer točka P preteče vso premico y=a.

9. NALOGA:
Dana je krožnica k, ki ima središče v O in premer d=AB, podaljšamo AB za 3cm, torej AC = d+3cm. Iz C narišemo tangento na krožnice k. Iz A potegnemo pravokotnico na premera d, presečišče te pravokotnice in tangente iz C označimo z D. Dobimo pravokotni tikotnik ADC. Na hipotenuzo DC je točka E ki leži tudi na krožnico. AD =9 in DE=9. Izračunaj premer kroga.

Uporabim Pitagorov izrek za trikotnik ADC in OEC.
(3+2r)^2+ 9^2= (9+x)^2
r^2+x^2=(r+3)^2
iz druge enačbe izrazim x^2=9+6r in vstavim v prvo po par korakov dobim:
16r^4+48r^3+36r^2-1944r-2916=0
ko to malo uredim dobim:
(2r+3)(2r^3+3r^2-243)=0
ker r ne more biti -3/2 ta rešitev odpade. Ne vem pa kako rešiti polinoma 3-te stopnje vem pa da vsaj ena ničla tega polinoma mora biti realna.

HVALA VNAPREJ ZA POMOČ IN NASVETOV.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14300
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Razne matematične naloge

Odgovor Napisal/-a shrink » 20.5.2015 15:39

Alex napisal/-a:9. NALOGA:
Dana je krožnica k, ki ima središče v O in premer d=AB, podaljšamo AB za 3cm, torej AC = d+3cm. Iz C narišemo tangento na krožnice k. Iz A potegnemo pravokotnico na premera d, presečišče te pravokotnice in tangente iz C označimo z D. Dobimo pravokotni tikotnik ADC. Na hipotenuzo DC je točka E ki leži tudi na krožnico. AD =9 in DE=9. Izračunaj premer kroga.

Uporabim Pitagorov izrek za trikotnik ADC in OEC.
(3+2r)^2+ 9^2= (9+x)^2
r^2+x^2=(r+3)^2
iz druge enačbe izrazim x^2=9+6r in vstavim v prvo po par korakov dobim:
16r^4+48r^3+36r^2-1944r-2916=0
ko to malo uredim dobim:
(2r+3)(2r^3+3r^2-243)=0
ker r ne more biti -3/2 ta rešitev odpade. Ne vem pa kako rešiti polinoma 3-te stopnje vem pa da vsaj ena ničla tega polinoma mora biti realna.
Nekako ga moraš rešiti (lahko numerično). Žal za polinom z \(r\) rešitev ni lepa, saj je \(r=4.5\), če pa bi v osnovi pisal zveze za premer \(d=2r\), bi bila rešitev \(d=2r=9\). Celoštevilske ničle polinoma so vedno delitelji prostega člena, tako da bi lahko na ta način našel rešitev za \(d\).

Za ostale naloge tudi napiši, kako si se jih lotil, pa ti bomo pomagali z nasveti.

Alex
Prispevkov: 2
Pridružen: 19.5.2015 23:40

Re: Razne matematične naloge

Odgovor Napisal/-a Alex » 21.5.2015 13:49

1.nalogo
razvijem v Tajlorjevo vrsto dobim
(1+x)^(-3)=Vsota(n teče od 0 do neskončnost) (-3 nad n)x^n
ko vsavljam vrednosti za n=0,1,2,3...
dobim |1|+|-3|+|6|+|-10|+|15|....= 1+3+6+10+.....
saj vidim da so to trikotniška števila ampak ne vem pokazat.

3. nalogo
sem rešil
Dobil sem a=4,8

5.nalogo
pa sem delil najprej z 2 in dobil:
S/2=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+.... to zapišem v parcijalne ulomke (1/n-1/(n+1))
tako da se vse pokrajša in ostane samo 1-1/(n+1) potem ne vem kako naprej.

Pri 2. 4. 6. 7. in 8. nalogi ne vem sploh kako se lotiti.
samo pri nekatere vem skico naredit(4.,7. in 8.)

Če veš vsaj kakšen nasvet mi dat bom zelo zelo vesel.
Hvala ti vnaprej.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14300
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Razne matematične naloge

Odgovor Napisal/-a shrink » 21.5.2015 19:15

Alex napisal/-a:1.nalogo
razvijem v Tajlorjevo vrsto dobim
(1+x)^(-3)=Vsota(n teče od 0 do neskončnost) (-3 nad n)x^n
ko vsavljam vrednosti za n=0,1,2,3...
dobim |1|+|-3|+|6|+|-10|+|15|....= 1+3+6+10+.....
saj vidim da so to trikotniška števila ampak ne vem pokazat.
Moraš izpeljati splošni koeficient v Taylorjevem razvoju okoli x=0, torej:

\(\displaystyle C(n)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)

in pokazati, da je njegova absolutna vrednost enaka:

\(\displaystyle \vert C(n) \vert=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

Ko izračunaš nekaj višjih odvodov f(x), zelo hitro ugotoviš zvezo:

\(\displaystyle f^{(n)}(x)=(-1)^n \frac{(n+2)!}{2}(1+x)^{-(n+3)}\)

Ko postaviš x=0 in vstaviš v zvezo za splošni koeficient, takoj prideš do enačbe za trikotniška števila.
5.nalogo
pa sem delil najprej z 2 in dobil:
S/2=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+.... to zapišem v parcijalne ulomke (1/n-1/(n+1))
tako da se vse pokrajša in ostane samo 1-1/(n+1) potem ne vem kako naprej.
Ne vem, zakaj si delil z 2, če pa je v imenovalcu 1/2. Kakorkoli že, moraš še poiskati limito \(\lim_{n\to\infty}s_n\).

***

Kar se tiče ostalih nalog, gre večinoma za probleme iz analitične geometrije, ki jih najbolj elegantno rešuješ preko vektorske analize.

Pri 2. nal. npr., lahko enačbo spirale najdeš preko vektorske enačbe premice v prostoru: najprej določiš smerni vektor projekcijske premice, tako da od krajevnega vektorja poljubne točke na vijačnici \((a\cos t, a\sin t, bt)\) odšteješ krajevni vektor točke \((0,0,h)\). Nato določiš enačbo premice (za točko \(\vec{r_0}\) si lahko izbereš \((0,0,h)\)) in zatem presečišče premice z ravnino \(z=0\), ki ti da enačbo spirale.

Podobno se z vektorji lotiš 4. naloge: moraš pokazati enakost vpadnega in odbojnega kota; najlažje preko skalarnih produktov med smernim vektorjem vpadnega žarka in normalo parabole ter normalo parabole in smernim vektorjem odbitega žarka (razlika krajevnih vektorjev gorišča parabole (0,1) in krajevnega vektorja poljubne točke na paraboli).

Preostalih 3 nalog se poskusi lotiti sam.

Odgovori