Razne matematične naloge
Objavljeno: 20.5.2015 1:11
Živijo!
Prosim če mi kdo pomaga pri naslednjih nalogah:
1.NALOGA:
Pokaži da so absolutne vrednosti koeficientov v razvoju (1+x)^(-3) v Taylorjevo vrsto trikotna števila.
2.NALOGA:
Hiperbolično spiralo dobimo tako, da vijačnico
x = a cos(t)
y = a sin(t)
z = bt
iz neke točke (0,0,h) na njeni osi projiciramo na ravnino z = 0. Napiši enačbo hiperbolične spirale v parametrični in polarni obliki ter jo nato skiciraj.
3. NALOGA:
V enakokraki trikotni z osnovnico 12 in krakoma 10 včrtaj kvadrat.
4. NALOGA:
Dokaži da se žarki s smerjo (0,-1) od parabole z enačbo 4y = x^2 odbijejo skozi točko (0,1).
5. NALOGA:
S pomočjo razcepa na parcialne ulomke poišči vsoto Leibnitzove vrste:ž
1+ 1/3+1/6+....+1/((1/2)n(n+1))
6.NALOGA:
Za p>0 je dana parabola z enačbo:
y^2 +2px=0
Lahko definiramo cisoido kot krivuljo, sestavljena iz točk ki so pravokotne projekcije temena parabole na vse možne tangente parabole.Napiši enačbo cisoide v parametrični polarni obliki.
7. NALOGA:
Vzemimo krožni izsek OAB z vrhom O in polmerom 1.Točka Q naj z enakomerno hitrostjo potuje po loku AB, točka R pa po kraku OB. Točki Q in R naj začneta potovati istočasno proti točki B, R iz točke O in Q iz točke A, premikata pa naj se tako hitro da hkrati prispeta v točko B.Kvadratrisa je krivulja, ki jo sestavljajo preseki daljice OQ s pravokotnico na OB v točki R v vsakem trenutku tega gibanja.
Krožni izsek postavimo v koordinatni sistem tako, da je O(0,0), A(1,0) in B(0,1).Zapiši eksplicitno enačbo kvadratrise x=f(y).V primeru ko je R=0, ustrezne točke na kvadratrisi ne moremo določiti. Katero točko (x,0) moramo dodati kvadratrisi, da bo f zvezna v y=0.
8. NALOGA:
Skiciraj in poišči eksplicitno enačbo krivulje, ki je definirana takole:
Nariši krožnico s središčem (0,a/2) in polmerom a/2. Potegni vzporednico abscisne osi y=a. Naj točka P leži na premici y=a. Poveži izhodišče koordinatnega sistema O(0,0) s točko P(x_1,a). Ordinata presečišča daljice OP s krožnico naj bo z_1. Krivulja je množica vseh točk oblike Q(x_1,z_1), kjer točka P preteče vso premico y=a.
9. NALOGA:
Dana je krožnica k, ki ima središče v O in premer d=AB, podaljšamo AB za 3cm, torej AC = d+3cm. Iz C narišemo tangento na krožnice k. Iz A potegnemo pravokotnico na premera d, presečišče te pravokotnice in tangente iz C označimo z D. Dobimo pravokotni tikotnik ADC. Na hipotenuzo DC je točka E ki leži tudi na krožnico. AD =9 in DE=9. Izračunaj premer kroga.
Uporabim Pitagorov izrek za trikotnik ADC in OEC.
(3+2r)^2+ 9^2= (9+x)^2
r^2+x^2=(r+3)^2
iz druge enačbe izrazim x^2=9+6r in vstavim v prvo po par korakov dobim:
16r^4+48r^3+36r^2-1944r-2916=0
ko to malo uredim dobim:
(2r+3)(2r^3+3r^2-243)=0
ker r ne more biti -3/2 ta rešitev odpade. Ne vem pa kako rešiti polinoma 3-te stopnje vem pa da vsaj ena ničla tega polinoma mora biti realna.
HVALA VNAPREJ ZA POMOČ IN NASVETOV.
Prosim če mi kdo pomaga pri naslednjih nalogah:
1.NALOGA:
Pokaži da so absolutne vrednosti koeficientov v razvoju (1+x)^(-3) v Taylorjevo vrsto trikotna števila.
2.NALOGA:
Hiperbolično spiralo dobimo tako, da vijačnico
x = a cos(t)
y = a sin(t)
z = bt
iz neke točke (0,0,h) na njeni osi projiciramo na ravnino z = 0. Napiši enačbo hiperbolične spirale v parametrični in polarni obliki ter jo nato skiciraj.
3. NALOGA:
V enakokraki trikotni z osnovnico 12 in krakoma 10 včrtaj kvadrat.
4. NALOGA:
Dokaži da se žarki s smerjo (0,-1) od parabole z enačbo 4y = x^2 odbijejo skozi točko (0,1).
5. NALOGA:
S pomočjo razcepa na parcialne ulomke poišči vsoto Leibnitzove vrste:ž
1+ 1/3+1/6+....+1/((1/2)n(n+1))
6.NALOGA:
Za p>0 je dana parabola z enačbo:
y^2 +2px=0
Lahko definiramo cisoido kot krivuljo, sestavljena iz točk ki so pravokotne projekcije temena parabole na vse možne tangente parabole.Napiši enačbo cisoide v parametrični polarni obliki.
7. NALOGA:
Vzemimo krožni izsek OAB z vrhom O in polmerom 1.Točka Q naj z enakomerno hitrostjo potuje po loku AB, točka R pa po kraku OB. Točki Q in R naj začneta potovati istočasno proti točki B, R iz točke O in Q iz točke A, premikata pa naj se tako hitro da hkrati prispeta v točko B.Kvadratrisa je krivulja, ki jo sestavljajo preseki daljice OQ s pravokotnico na OB v točki R v vsakem trenutku tega gibanja.
Krožni izsek postavimo v koordinatni sistem tako, da je O(0,0), A(1,0) in B(0,1).Zapiši eksplicitno enačbo kvadratrise x=f(y).V primeru ko je R=0, ustrezne točke na kvadratrisi ne moremo določiti. Katero točko (x,0) moramo dodati kvadratrisi, da bo f zvezna v y=0.
8. NALOGA:
Skiciraj in poišči eksplicitno enačbo krivulje, ki je definirana takole:
Nariši krožnico s središčem (0,a/2) in polmerom a/2. Potegni vzporednico abscisne osi y=a. Naj točka P leži na premici y=a. Poveži izhodišče koordinatnega sistema O(0,0) s točko P(x_1,a). Ordinata presečišča daljice OP s krožnico naj bo z_1. Krivulja je množica vseh točk oblike Q(x_1,z_1), kjer točka P preteče vso premico y=a.
9. NALOGA:
Dana je krožnica k, ki ima središče v O in premer d=AB, podaljšamo AB za 3cm, torej AC = d+3cm. Iz C narišemo tangento na krožnice k. Iz A potegnemo pravokotnico na premera d, presečišče te pravokotnice in tangente iz C označimo z D. Dobimo pravokotni tikotnik ADC. Na hipotenuzo DC je točka E ki leži tudi na krožnico. AD =9 in DE=9. Izračunaj premer kroga.
Uporabim Pitagorov izrek za trikotnik ADC in OEC.
(3+2r)^2+ 9^2= (9+x)^2
r^2+x^2=(r+3)^2
iz druge enačbe izrazim x^2=9+6r in vstavim v prvo po par korakov dobim:
16r^4+48r^3+36r^2-1944r-2916=0
ko to malo uredim dobim:
(2r+3)(2r^3+3r^2-243)=0
ker r ne more biti -3/2 ta rešitev odpade. Ne vem pa kako rešiti polinoma 3-te stopnje vem pa da vsaj ena ničla tega polinoma mora biti realna.
HVALA VNAPREJ ZA POMOČ IN NASVETOV.