Kvarkadabra forum

Prosila bi, če mi kdo pomaga rešit tole nalogo.
a) Poišči vse obrnljive elemente kolobarja (Z, +, x-krat).
kaj sploh pomeni obrnljive elemente?

b)če je f: G --> H izomorfizem grup, je tudi f^(-1): H-->G izomorfizem grup. Dokaži.
na kak način naj to dokažem. ve da mora biti med njima homomorfizem in da mora veljati injektivnost in surjektivnost.

Prosim če mmi kdo vsaj malo pove, da mogoče malo poštekam.
hvala

Nalogi sta zelo elementarni. Obrnljiv element pomeni, da obstaja inverz za množenje. Obrnljiva elementa v \(\mathbb{Z}\) sta \(1\) in \(-1\); oba sta inverza sama sebi.

2. naloga: Naj bo \(f:G\to H\) izomorfizem (t.j. obrnljiv homomorfizem). Ker je \(f\) obrnljiv kot preslikava, ima inverz \(f^{-1}:H\to G\), ki je tudi obrnljiv. Treba je preveriti še, da je \(f^{-1}\) homomorfizem. Vzemimo poljubna \(y_1,y_2\in H\). Potem obstajata \(x_1,x_2\in G\), da velja \(y_1=f(x_1)\) in \(y_2=f(x_2)\). Torej je \(f^{-1}(y_1y_2)=f^{-1}(f(x_1)f(x_2))=f^{-1}(f(x_1x_2))=x_1x_2=f^{-1}(y_1)f^{-1}(y_2)\) in je zato \(f^{-1}\) res homomorfizem.

Zajc napisal/-a:Nalogi sta zelo elementarni. Obrnljiv element pomeni, da obstaja inverz za množenje. Obrnljiva elementa v \(\mathbb{Z}\) sta \(1\) in \(-1\); oba sta inverza sama sebi.

2. naloga: Naj bo \(f:G\to H\) izomorfizem (t.j. obrnljiv homomorfizem). Ker je \(f\) obrnljiv kot preslikava, ima inverz \(f^{-1}:H\to G\), ki je tudi obrnljiv. Treba je preveriti še, da je \(f^{-1}\) homomorfizem. Vzemimo poljubna \(y_1,y_2\in H\). Potem obstajata \(x_1,x_2\in G\), da velja \(y_1=f(x_1)\) in \(y_2=f(x_2)\). Torej je \(f^{-1}(y_1y_2)=f^{-1}(f(x_1)f(x_2))=f^{-1}(f(x_1x_2))=x_1x_2=f^{-1}(y_1)f^{-1}(y_2)\) in je zato \(f^{-1}\) res homomorfizem.

1. a ni potem inverz v \(\mathbb{Z}\) ravno 1/a. oziroma, če a pomnožimo z 1/a dobimo enoto, ki je 1.?


in imam še eno podvprašanje. ena naloga je bila pošiči vse obrnljive elemente ( \(\mathbb{Z}\) 12, +, x). Je to mišljeno kolobar osankov pri deljenju z 12? ampak inverz obstaja le ko je \(\mathbb{Z}\) n --> n praštevilo.
A imam prav ?

2. nlogo pa razumem, hvala.

kolenca napisal/-a:1. a ni potem inverz v \(\mathbb{Z}\) ravno 1/a. oziroma, če a pomnožimo z 1/a dobimo enoto, ki je 1.?

Ja. Element \(b\in\mathbb{Z}\) je inverz elementa \(a\in\mathbb{Z}\), če velja \(ab=1\) oziroma \(b=1/a\).
Vendar bo \(1/a\in\mathbb{Z}\), samo če bo \(a=1\) ali \(a=-1\).

in imam še eno podvprašanje. ena naloga je bila pošiči vse obrnljive elemente ( \(\mathbb{Z}\) 12, +, x). Je to mišljeno kolobar osankov pri deljenju z 12? ampak inverz obstaja le ko je \(\mathbb{Z}\) n --> n praštevilo.

Obrnljivi elementi v \(\mathbb{Z}_{12}\) so vsi tisti elementi množice \(\{0,1,\ldots,11\}\), ki so tuji številu \(12\),
torej \(1,5,7,11\). Na primer, inverz števila \(5\) je \(5\) in tako naprej. V splošnem velja, da so obrnljivi elementi kolobarja \(\mathbb{Z}_n\) ravno vsi elementi, ki so tuji številu \(n\). Število teh elementov pa je ravno Eulerjeva funkcija \(\varphi(n)\).

Aha, hvala! Ni tako tezko kot sem mislila da je.

Vprasal bi te samo se eno nalogo ki je podobna drugi gre pa tako:
dokaži, da je f: G-->G izomorfizem grup ,
f(x) = g°x°g^(-1).
Kako naj pokazem da je v jedru le enota?
Za surjektivnost pa tudi nevem kaj bi naredila (izracunat inverz, mogoce na tak nacin kot si ti pri drugi??)
Velja pa tudi, ce je surjektuvna, da je v imG= G ali si lahko kaj pomagam s tem?

kolenca napisal/-a:Aha, hvala! Ni tako tezko kot sem mislila da je.

Vprasal bi te samo se eno nalogo ki je podobna drugi gre pa tako:
dokaži, da je f: G-->G izomorfizem grup ,
f(x) = g°x°g^(-1).
Kako naj pokazem da je v jedru le enota?

Tako, da vzameš poljuben element \(x\) iz jedra in dokažeš, da je \(x=1\) (enota):

Naj bo \(x\in\ker(f)\). Potem je \(f(x)=1\), torej \(gxg^{-1}=1\). Pomnožimo z \(g\) in dobimo \(gx=g\). Pomnožimo še z leve z \(g^{-1}\) in dobimo \(x=1\), kar je bilo treba dokazati.

Za surjektivnost pa tudi nevem kaj bi naredila (izracunat inverz, mogoce na tak nacin kot si ti pri drugi??)

Poiskati inverz je sigurno en način.

Velja pa tudi, ce je surjektuvna, da je v imG= G ali si lahko kaj pomagam s tem?

To je tavtologija in ti nič ne pomaga.

Aha, razumem. Hvala za odgovor.