grupe, kolobarji

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
ninagracej
Posts: 31
Joined: 26.10.2011 20:25

grupe, kolobarji

Post by ninagracej » 2.11.2016 13:20

Prosila bi za pomoč pri nalogah.

1. Naj bo H končna neprazna podmnožica grupe G. Dokaži, da že iz predpostavke,
da je H zaprta za množenje sledi, da je H podgrupa. S primerom pokaži, da za
neskončne množice H ta sklep v splošnem ne velja.

2. Naj bo K kolobar. Za poljuben a ∈ K naj bo C(a) množica vseh elementov iz A,
ki komutirajo z a. Imenujemo jo centralizator elementa a.
(a) Pokaži, da je C(a) podkolobar kolobarja K.
(b) Pokaži, da je C(a) ⊆ C(a^2).
(c) Pokaži, da je C(a) = C(a^2), če je a^(2k+1) = 1 za kak k ∈ N.
(d) Poišči kak kolobar K in njegov element a, za katerega velja C(a) ni podmnožica C(a^2).

Hvala za ideje in pomoč.

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: grupe, kolobarji

Post by Zajc » 3.11.2016 10:18

1. Naj bo \(g\in H\) poljuben. Preslikava \(H\to H\), \(h\mapsto gh\), je injektivna in zato surjektivna. Odtod sledi, da ima vsak \(g\in H\) desni inverz in je zato \(H\) podgrupa.

Če je \(H\) neskončna, to ne velja, npr. \(\mathbb{N}\) je zaprta za plus, ni pa podgrupa v \(\mathbb{Z}\).

Post Reply