Kvarkadabra forum

Prosila bi za pomoč pri nalogah.

1. Naj bo H končna neprazna podmnožica grupe G. Dokaži, da že iz predpostavke,
da je H zaprta za množenje sledi, da je H podgrupa. S primerom pokaži, da za
neskončne množice H ta sklep v splošnem ne velja.

2. Naj bo K kolobar. Za poljuben a ∈ K naj bo C(a) množica vseh elementov iz A,
ki komutirajo z a. Imenujemo jo centralizator elementa a.
(a) Pokaži, da je C(a) podkolobar kolobarja K.
(b) Pokaži, da je C(a) ⊆ C(a^2).
(c) Pokaži, da je C(a) = C(a^2), če je a^(2k+1) = 1 za kak k ∈ N.
(d) Poišči kak kolobar K in njegov element a, za katerega velja C(a) ni podmnožica C(a^2).

Hvala za ideje in pomoč.

1. Naj bo \(g\in H\) poljuben. Preslikava \(H\to H\), \(h\mapsto gh\), je injektivna in zato surjektivna. Odtod sledi, da ima vsak \(g\in H\) desni inverz in je zato \(H\) podgrupa.

Če je \(H\) neskončna, to ne velja, npr. \(\mathbb{N}\) je zaprta za plus, ni pa podgrupa v \(\mathbb{Z}\).