končno razsežna algebra

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
ninagracej
Prispevkov: 30
Pridružen: 26.10.2011 20:25

končno razsežna algebra

Odgovor Napisal/-a ninagracej » 10.11.2016 11:22

Bi mi morda znal kdo pomagati pri nalogi:

Pokaži, da je vsak neničeln element x končno razsežne algebre A bodisi delitelj
niča bodisi obrnljiv. Pokaži tudi, da obrnljivost elementa x sledi že iz obstoja
levega ali desnega inverza.

Hvala.

Zajc
Prispevkov: 1098
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: končno razsežna algebra

Odgovor Napisal/-a Zajc » 12.11.2016 13:03

Naj bo \(x\ne 0\) element končno razsežne algebre \(A\), ki ni levi delitelj niča. Ker je algebra končno razsežna, elementi \(1,x,x^2,x^3,\ldots\) ne morejo biti linearno neodvisni, torej obstajajo \(n\ge 0\) in skalarji \(\lambda_0,\ldots,\lambda_n\), ne vsi enaki nič, da velja \(\lambda_0+\lambda_1x+\ldots+\lambda_nx^n=0\). Lahko predpostavimo, da je \(n\) minimalen s to lastnostjo. Ker \(x\) ni delitelj niča, mora biti \(\lambda_0\ne 0\) (sicer bi bilo \(x(\lambda_1+\lambda_2x+\ldots+\lambda_nx^{n-1})=0\), kjer je izraz v oklepaju neničeln zaradi minimalnosti). Odtod sledi \(x(-\lambda_0^{-1}\lambda_1-\lambda_0^{-1}\lambda_2x-\ldots-\lambda_0^{-1}\lambda_nx^{n-1})=1\), torej je \(-\lambda_0^{-1}\lambda_1-\lambda_0^{-1}\lambda_2x-\ldots-\lambda_0^{-1}\lambda_nx^{n-1}\) desni (in seveda tudi levi) inverz elementa \(x\).

Če ima \(x\) desni inverz (recimo \(xy=1\)), potem gotovo ni levi delitelj niča (saj iz \(zx=0\) sledi \(z=zxy=0\)). Torej je po zgoraj dokazanem \(x\) obrnljiv.

P.S. Ta lastnost ne velja le v končno razsežnih, ampak tudi v splošnejših algebraičnih algebrah (t.j. algebrah, v katerih je vsak element ničla neničelnega polinoma).

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 2 gostov