komutativen obseg

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
ninagracej
Prispevkov: 30
Pridružen: 26.10.2011 20:25

komutativen obseg

Odgovor Napisal/-a ninagracej » 16.11.2016 11:57

Bi mi znal kdo pomagat pri nalogi:

Pokaži, da je obseg O komutativen, če za vse x, y ∈ O velja (xy)^2 = (yx)^2.

hvala

Zajc
Prispevkov: 1098
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: komutativen obseg

Odgovor Napisal/-a Zajc » 16.11.2016 21:47

Iz \(x^2=((xy^{-1})y)^2=(y(xy^{-1}))^2=yxy^{-1}yxy^{-1}=yx^2y^{-1}\) sledi \(x^2y=yx^2\) za vsaka dva \(x,y\). Torej je \(xy^2x=x(xy^2)=x^2y^2\) in podobno \(yx^2y=(x^2y)y=x^2y^2\). Odtod sledi \((xy-yx)(xy+yx)=(xy)^2+xy^2x-yx^2y-(yx)^2=0\). Torej je \(xy-yx=0\) ali \(xy+yx=0\) in zato \(xy=yx\) ali \(xy=-yx\) za poljubna \(x,y\). Recimo, da je \(xy\ne yx\) za neka dva \(x,y\). Potem je \(xy=-yx\). Iz \((1+x)y\ne y(1+x)\) sledi \((1+x)y=-y(1+x)\), torej \(y+xy=-y-yx\), torej \(y=-y\), torej \(2y=0\). Ker je \(y\ne 0\), sledi \(2=0\), torej \(1=-1\), torej \(xy=-yx=yx\), kar pa je protislovje.

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 4 gostov