Kvarkadabra forum

Pomagajte! Imam množico naravnih števil. Rad bi jo razdelil na neskončno podmnožic, od katerih ima vsaka neskončno naravnih števil. Še to: vsako naravno število naj pripada natanko eni (eni in samo eni) od teh množic. Kakšen "algoritem" oziroma pravilo naj uporabim, da bom dosegel svoj cilj? (Za pomoč: Množico naravnih števil ni težko razdeliti na neskončno množic s končno močjo, primer: (1,2,3,4,5), (6,7,8,9,10),(11,12,13,14,15), ... Tudi je ni težko razdeliti na končno število množic z neskončno močjo, primer: množica lihih in množica sodih števil). Jaz pa hočem narediti neskončno množic (podmnožic množice N) ki bi vse bile neskončne. No, kdo se bo prvi česa domislil? Hvala!

Bom dodal še dve (med seboj povezani) vprašanji:

1. Kako za poljubno izbrano naravno število (razmeroma) preprosto ugotoviti, kateri od teh neskončnih množic pripada?
2. Kako vsako od teh množic enostavno označiti, poimenovati - katero oziroma kakšno število naj bo njena "identifikacijska številka"?

Vse odgovore poznam, me pa zanima, kaj ostali mislite o tem (preden se sam razpišem o rešitvah).

Ena možna rešitev:

Za vsak \(n\in\mathbb{N}\) definiramo \(A_n=\{m\in\mathbb{N}:\,2^{n-1}\mid m,\ 2^n\nmid m\}\). Množice \(A_n\) so potem disjunktne in neskončne, njihova unija pa je \(\mathbb{N}\). Kriterij, kateri množici pripada določeno naravno število, je preprost: npr. število \(2^{17}\cdot 3^2\cdot 5^8\) pripada množici \(A_{18}\).

Zajc, hvala ti!
Ker nisem matematik, bi mi lahko prosim "po domače" razložil, kaj pomeni tisto, kar sledi "2 na (n-1)", videti je kot absolutna vrednost, ampak jasno mi je, da to ni. Pa morda da mi zapišeš prvih nekaj elementov neke konkretne množice (za nek fiksen n). Potem se bom pa sam naprej "igral".
V kratkem pa bom jaz podal svojo rešitev, očitno jih je več.

Znak \(\mid\) pomeni "deli". \(A_n\) je množica vseh naravnih števil, ki so deljiva z \(2^{n-1}\) in niso deljiva z \(2^n\).

\(A_1=\{1,3,5,7,\ldots\}\) (so deljiva z \(1\), niso pa deljiva z \(2\))
\(A_2=\{2,6,10,14,\ldots\}\) (so deljiva z \(2\), niso pa deljiva s \(4\))
\(A_3=\{4,12,20,28,\ldots\}\) (so deljiva s \(4\), niso pa deljiva z \(8\))
\(A_4=\{8,24,40,56,\ldots\}\) (so deljiva z \(8\), niso pa deljiva s \(16\))
itd.

Zajc, ti si car (če te lahko tikam - sicer: Vi ste car(ji) Hvala!

Sam sem uporabil naslednji postopek (na številih 1,2,3 in 4 sicer ni uporaben, vendar lahko ta števila "brez škode" priključimo k drugim neskončnim množicam):

Vzamem praštevilo (večje ali enako 5) in ga zapišem na vse možne načine kot vsoto praštevil (vrstni red ni bistven, saj je vsota komutativna):
5 = 2+3 (pri 5 je le ena možnost)
Namesto vsote zdaj uporabim produkt: 2.3 = 6
6 je torej naslednji element množice, ki bo rasla iz praštevila 5 v neskončno in bo vsebovala točno določena naravna števila.

Enako naredimo s 6:
6 = 2+2+2, 2.2.2 = 8
6 = 3+3, 3.3 = 9
Iz 6 dobimo dve števili: 8 in 9.
Enako naredimo z 8 in 9, primer za 9:
9 = 2+2+2+3, 2.2.2.3 = 24
9 = 3+3+3, 3.3.3 = 27
9 = 2+2+5, 2.2.5 = 20
9 = 2+7, 2.7 = 14
Iz 9 dobimo kar štiri elemente množice: 14, 20, 24 in 27.

Imamo neskončno praštevil, in iz vsakega (enakega ali večjega od 5) dobimo po tem postopku neskončno števil, katerih vsako pripada eni in eni sami množici.
Vse množice skupaj pa tvorijo (unija) množico naravnih števil.
Ali prav razmišljam?

Ja!