Kvarkadabra forum

ali zna kdo rešiti naslednjo naloge iz linearne algebre:

Naj bo (G, o) polgrupa. Dokaži, da je G grupa natanko tedaj, ko za poljubna a,b, ki ste elementa G, obstajata takšna x,y, ki sta elementa G, da velja:

a o x = b in y o a = b.

Hvala!
(p.s. tisti o (krožec) pri G je operacija v polgrupi oziroma grupi)

a res nihče ne zna te naloge, bi mi prišlo prav, ker se bliža kolokvij...

Naj bo \(a\) poljuben element \(G\). Po predpostavki obstaja \(e\in G\), da velja \(a\circ e=a\). Vzemimo poljuben \(b\in G\) in preverimo, da velja \(b\circ e=b\). Po predpostavki lahko pišemo \(b=y\circ a\) za nek \(y\in G\), torej \(b\circ e=y\circ a\circ e=y\circ a=b\). Torej ima \(G\) desno enoto. Analogno ima tudi levo enoto. Torej ima \(G\) obojestransko enoto \(e\). Iz predpostavke potem očitno sledi, da ima vsak element inverz (vzamemo \(b=e\)).

Hvala za odgovor, mi je sedaj jasno.

Lep dan še naprej