Mislim da imajo računske operacije (seštevanje, množenje, korenjenje,..) lastnosti funkcij. No, v bistvu še več, so zgolj funkcije, a jih zaradi razvoja matematike v enačbah tretiramo tako drugače. Funkcija je predpis, ki določi vsem elementov iz prve množice, elemente v drugi množici. Pri tem nima kar prostih rok in prireja vrednosti v skladu z danim predpisom. Geometrijsko to pomeni značilen graf.
Denimo funkcija deljenja je v bistvu cela množica funkcij, ki imajo določene skupne lastnosti. To je sam postopek deljenja, pri katerem pa se nek parameter v vsaki spreminja. To pomeni, da delimo na polovice, tretjino, četrtino itd, pri tem pa ima vsak od teh svoj graf a vse spadajo v skupno družino funkcij. Prav tako to velja za vse ostale meni poznane računske operacije (seštevanje, množenje, korenjenje, potenciranje).
Ob tem bi bilo zanimivo razmisliti kaj se zgodi s pojmi kot so komutativnost, asociativnost in distributivnost. Predvsem to, da komutativnost dobi popolnoma identičen pomen simetričnosti relacij v logiki, asociativnost tranzitivnosti, za distributivnost pa v tem trenutku ne bi vedel.
+-*/ kot funkcije
mnozenje, deljenje, sestevanje, odstevanje so operatorji. Te operacije so del definicije mnozic, na katerih izvajamo te operacije.
Mnozica je grupa za operacijo,
ce je rezultat dveh elementov te mnozice tudi znotraj mnozice,
ce je operacija asociativna,
ce ima operacija nevtralni element, ki ne spremeni elementa,
ce ima operacija inverz.
Ce je operacija KOMUTATIVNA, ji recemo ABELOVA grupa.
Tako imamo dve operaciji: sestevanje in mnozenje.
Realna stevila npr. so Abelova grupa za
sestevanje:
a+b=c; c je realno
(a+b)+c=a+b+c
a+0=a
a+(-a)=0
in mnozenje:
a*b=c; c je realno
(ab)c=abc
a*1=a
a* (a^-1)=1
Kolobar je mnozica, ki ima te dve operaciji. Je grupa za sestevanje in ima notranjo operacijo mnozenja z distributivnostjo.
Obseg je kolobar, za katerega velja, da je za mnozenje elementov brez 0 Abelova grupa. (in ima vec kot 2 elementa)
No, realna stevila so tudi obseg. Tako imamo operacije iz katerih lahko sestavljamo funkcije. V principu funkcija lahko uporabi vse operacije, ki obstajajo na tisti mnozici in vse standardne operacije nad mnozicami.
Funkcijo mnozenje, deljenja,... lahko smatramo na dva nacina: neskoncno funkcij tipa f(x): x->x*a ali pa funkcijo dveh spremenjlivk f(x,y): (x,y)->x*y
Ce se omejimo na realna stevila, ki so definirani s 13 aksiomi, od katerih prvih 8 pove, da je abelova grupa za sestevanje in mnozenje, lahko opredelimo osnovne funkcije z dvema spremenljivkama in jih komponiramo. S tem dobimo vse algebraicne funkcijske predpise (polinome, racionalne funkcije), z neskoncnimi vrstami pa tudi transcendentne funkcije. (nekatere funkcije so definirane kot inverzi, ki v splosnem niso izrazljive z elementarnimi funkcijami).
Lastnosti funkcij (surj. inj.), povedo, kako funkcija slika iz ene mnozice v drugo. Surjektivnost pove, da zapolnimo celotno zalogo vrednosti, injektivnost pa da slikamo razlicne elemente v razlicne. Ce je oboje je bijektivna in ima inverz (da se izslediti, od kod smo slikali). Navajeni smo funkcij, ki slikajo med enakima mnozicama. Take funkcije brez problemov komponiramo med seboj. Funkcije lahko smatramo kot predpise v vseh mnozicah, vkljucno z racunalniskimi funkcijami, ki jih definiramo z logicnimi operacijami in slikajo med osnovnimi in sestavljenimi tipi (integer, string,...)
V splosnem pojem operator lahko zamenjamo s pojmom funkcije. Sploh pa jih ne tretiramo drugace kot ostale, ker so v mnozici funkcij enakovredne ostalim. Nad mnozicami vektorjev, splosnejem v vektorskem ali evklidskem prostoru, funkcije mnozenja in sestevanja npr. niso definirane enako kot v R. Tako sestevanje vektorje sesteva po komponentah, mnozenje je pa definirano kot mnozenje vektorja s skalarjem in tako vzame dva argumenta iz razlicnih mnozic.
Potenciranje se da izpeljati za naravne eksponente iz aksiomov za R stevila. Z definicijo korenjenja kot inverza v R+ mnozici definiramo racionalne eksponente in jih z limito posplosimo na realen eksponent. Logaritem spet definiramo kot inverz eksponentne funkcije, kotne funkcije pa so definirane z neskoncno vsoto. Tako iz 13 aksiomov izpeljemo celotno algebro realnih stevil. Naravna stevila so npr. definirana s 5 aksiomi in niso grupa za mnozenje (ni deljenja, ki je inverz)....
Toliko za danes. Lep dan se naprej.......
Mnozica je grupa za operacijo,
ce je rezultat dveh elementov te mnozice tudi znotraj mnozice,
ce je operacija asociativna,
ce ima operacija nevtralni element, ki ne spremeni elementa,
ce ima operacija inverz.
Ce je operacija KOMUTATIVNA, ji recemo ABELOVA grupa.
Tako imamo dve operaciji: sestevanje in mnozenje.
Realna stevila npr. so Abelova grupa za
sestevanje:
a+b=c; c je realno
(a+b)+c=a+b+c
a+0=a
a+(-a)=0
in mnozenje:
a*b=c; c je realno
(ab)c=abc
a*1=a
a* (a^-1)=1
Kolobar je mnozica, ki ima te dve operaciji. Je grupa za sestevanje in ima notranjo operacijo mnozenja z distributivnostjo.
Obseg je kolobar, za katerega velja, da je za mnozenje elementov brez 0 Abelova grupa. (in ima vec kot 2 elementa)
No, realna stevila so tudi obseg. Tako imamo operacije iz katerih lahko sestavljamo funkcije. V principu funkcija lahko uporabi vse operacije, ki obstajajo na tisti mnozici in vse standardne operacije nad mnozicami.
Funkcijo mnozenje, deljenja,... lahko smatramo na dva nacina: neskoncno funkcij tipa f(x): x->x*a ali pa funkcijo dveh spremenjlivk f(x,y): (x,y)->x*y
Ce se omejimo na realna stevila, ki so definirani s 13 aksiomi, od katerih prvih 8 pove, da je abelova grupa za sestevanje in mnozenje, lahko opredelimo osnovne funkcije z dvema spremenljivkama in jih komponiramo. S tem dobimo vse algebraicne funkcijske predpise (polinome, racionalne funkcije), z neskoncnimi vrstami pa tudi transcendentne funkcije. (nekatere funkcije so definirane kot inverzi, ki v splosnem niso izrazljive z elementarnimi funkcijami).
Lastnosti funkcij (surj. inj.), povedo, kako funkcija slika iz ene mnozice v drugo. Surjektivnost pove, da zapolnimo celotno zalogo vrednosti, injektivnost pa da slikamo razlicne elemente v razlicne. Ce je oboje je bijektivna in ima inverz (da se izslediti, od kod smo slikali). Navajeni smo funkcij, ki slikajo med enakima mnozicama. Take funkcije brez problemov komponiramo med seboj. Funkcije lahko smatramo kot predpise v vseh mnozicah, vkljucno z racunalniskimi funkcijami, ki jih definiramo z logicnimi operacijami in slikajo med osnovnimi in sestavljenimi tipi (integer, string,...)
V splosnem pojem operator lahko zamenjamo s pojmom funkcije. Sploh pa jih ne tretiramo drugace kot ostale, ker so v mnozici funkcij enakovredne ostalim. Nad mnozicami vektorjev, splosnejem v vektorskem ali evklidskem prostoru, funkcije mnozenja in sestevanja npr. niso definirane enako kot v R. Tako sestevanje vektorje sesteva po komponentah, mnozenje je pa definirano kot mnozenje vektorja s skalarjem in tako vzame dva argumenta iz razlicnih mnozic.
Potenciranje se da izpeljati za naravne eksponente iz aksiomov za R stevila. Z definicijo korenjenja kot inverza v R+ mnozici definiramo racionalne eksponente in jih z limito posplosimo na realen eksponent. Logaritem spet definiramo kot inverz eksponentne funkcije, kotne funkcije pa so definirane z neskoncno vsoto. Tako iz 13 aksiomov izpeljemo celotno algebro realnih stevil. Naravna stevila so npr. definirana s 5 aksiomi in niso grupa za mnozenje (ni deljenja, ki je inverz)....
Toliko za danes. Lep dan se naprej.......