Pravilni poliedri

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
anzej
Prispevkov: 1
Pridružen: 25.4.2005 20:28

Pravilni poliedri

Odgovor Napisal/-a anzej »

Na forumu dmfa, ki je na vsem lepem mrknil iz neznanega, oz. tehtnega razloga, je bilo pred tremi meseci zastavljeno nagradno vprašanje :

Pozna kdo morda še kakšno konveksno telo, poleg Platonovih poliedrov, ki bi bilo omejeno s skladnimi pravilnimi mnogokotniki in bi imelo enake telesne ogle, kakor to velja za pravilne poliedre?

Ker ni bilo ustreznega odgovora, je čez mesec dni prišel naslednji:

To je krogla.
Utemeljitev: kroglo omejuje 8 skladnih pravilnih sferičnih trikotnikov – spst (alfa =90°). Dobiš jih, če prerežeš krogelno lupino-sfero s tremi medsebojno pravokotnimi ravninami (XY, XZ, YZ), ki potekajo skozi njeno središče.
Vsi koti med robovi spst so enaki: beta =180°, prav tako vsota kotov v točkah kjer se 4 ploskve stikajo : 360°.
Sferični ogli–oglišča* so zaradi tega (180°, 360°) nevidni, saj se 'zlivajo' v eno ravnino.

Na osnovi tega lahko kroglo pojmujemo za pravilni polieder**, saj izpolnjuje vse kriterije kot je to v primeru Platonovih teles.

*oglišče – točka, v kateri se stikajo stranice lika ali robovi ploskev telesa (SSKJ)
**pravilni polieder – geom. telo, ki ga omejujejo skladni pravilni mnogokotniki (SSKJ)

Zanimiv bi bil komentar na to temo. :idea:

M4RT1N
Prispevkov: 68
Pridružen: 5.11.2004 23:54
Kraj: Domžale
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a M4RT1N »

Mislim da rešitev ni povsem na mestu, saj gre tukaj za drugačen geometrijski prostor kot tisti na katerega se nanašajo Platonovi poliedri. Sferični trikotnik je pač del 3D prostora, četudi ga lahko opišemo v dveh dimenzijah. Toda problem je ker ti dve dimenziji nimata enakih lastnosti kot jih imajo Platonove.
Morda primerjava z imaginarno rešitvijo za enačbo v realnem ni povsem na mestu, pa vseeno mislim da je podobnost med problemoma.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

M4RT1N ima prav. V platonskem svetu je to popolnoma navaden oktaeder. Platonskih teles je najvec pet, kar se da izpeljati v nekaj korakih. Da so vsi kandidati ustrezni, je pa verjetno tezko dokazat, ce je dokoncno dokazal sele Euler. Lahko pa smatras kroglo kot pravilni polieder z neskoncno skladnimi oglisci in ploskvami, ceprav ploskve nimajo dimenzije in sovpadajo z oglisci.

mungo
Prispevkov: 5
Pridružen: 17.4.2005 15:42

Odgovor Napisal/-a mungo »

Izgovor, da gre za drugačen geom prostor, nima osnove: postavljeno vprašanje prav z ničemer ne omejuje iskanje zadovoljivega – pravilnega odgovora v samo enem geom prostoru. Edina omejitev je definicija za pravilni polieder, ki pa vemo kakšna je.
Ja, res, primerjava z imag rešitvijo (izmišljeno – nekaj kar dejansko ne obstaja) ni na mestu.

Če ploskve nimajo dimenzije, ali so potem sploh ploskve?? Najbrž so potem točke, ker 'sovpadajo' z oglišči!? Je potemtakem krogla geom telo brez
površine? :cry:
Euler je eden mojih najljubših matematikov, a žal ni poznal (domnevamo po njegovih objavah) neevkl geom, zato ni imel kaj dokončno dokazovati.

Vprašanje, ki ga odpira ta tema pa je: če se ne omejimo na samo en (evklidski) geom prostor, koliko rešitev bi potem bilo? Ena? Več? Katere? :idea:

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Se nikoli slisal za neskoncno vsoto neskoncno majhnih delov? Temu se rece integral. 8) Ploskev dS=dxdy, tocka pa seveda tudi tega nima.
Vprašanje, ki ga odpira ta tema pa je: če se ne omejimo na samo en (evklidski) geom prostor, koliko rešitev bi potem bilo? Ena? Več? Katere? :idea:


Ce se ne omejis na prostor definicije pravilnih poliedrov nimajo vec toliksnega smisla. Vsa matematika se pretvori v neenakosti, ki so odvisne od parametrov. Ce smo v sfericnem prostoru, sa vse stranice trikotnikov (v visji dimenziji tetraedrov) vecje in vsi koti tudi. V sedlasti geometriji ravno obratno. Predvidevam pa da so resitve iste.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14573
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Kot zanimivost: Sferična trigonometrija (pa čeprav Zemlja ni idealna krogla) ima praktično uporabo predvsem v navigaciji: npr. problem loksodrome.

mungo
Prispevkov: 5
Pridružen: 17.4.2005 15:42

Odgovor Napisal/-a mungo »

Aniviller: tvoje razpravljanje je milo rečeno prodajanje megle in skorajda ne zasluži resne obravnave, žal. Če si dovolj samokritičen, boš morda uvidel, da je tako, ko boš pozorno (še enkrat) prebral zapisano.

Reči, da ploskev nima dimenzije in sovpada…, potem pa to luknjo poskusiti zakrpati z vsoto nesk majhnih delov (ki pa 'dimenzijo' očitno imajo), je takšna cvetka, ki si je ne more (sme!) privoščiti nobeden kolikor toliko resen razpravljalec. 'Matematika je ali stroga in dosledna ali pa ni nič', kot se je izrazil nek matematik. Zdi se, da bi nekaj podobnega utegnilo veljati tudi za njene akterje.

In lepo tudi prosim: nepotrebna pompozna izvajanja o integralih - pa tudi katerakoli druga izvajanja, ki ne prispevajo ničesar k obravnavani temi, marveč služijo kvečjemu za razkazovanje mišic - prihrani za koga drugega, ki teh stvari ne obvlada, da se bo morda čudil tvojemu umovanju; raje se osredotoči na postavljeno vprašanje.

Kljub vsemu, lep vikend.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Integral sem omenil zato, ker si se pritozeval nad majhnostjo ploskev...
Oprosti, ampak jaz vidim krog kot pravilni mnogokotnik z neskoncno stranicami (tako je celo mogoce izracunati PI), kot vidim daljico kot 2-kotnik. Isto velja za geom. telesa. Kje vidis tukaj prodajanje megle, saj govorimo samo o skrajnih pogojih!!! :shock: :x :x :x

mungo
Prispevkov: 5
Pridružen: 17.4.2005 15:42

Odgovor Napisal/-a mungo »

Bodi pošten in mi nikar ne naprtuj nečesa kar nisem izjavil, vsaj pri tej temi o pravilnih poliedrih ne! Nikjer se nisem pritoževal nad majhnostjo ploskev!! Kajti med 'ploskvijo, ki nima dimenzije' (površine) – torej ne eksistira - in neskončno majhno ploskvijo, ki pa površino vendarle ima, je velikanska razlika; in prav to sem mislil s strogostjo in doslednostjo izražanja.

Ta o daljici 2-kotniku je spet ena taka, ki zamuja dober mesec.
Če nekdo vidi daljico kot 2-kotnik, gre le za subjektivno presojo, ne pa za splošno veljavno (matem dokazano) resnico, ker takega dokaza (še) ne poznam(o) pa tudi aksioma ne. Ju morda ti?
Sicer pa: 2-kotniki na sferi res obstajajo in imajo 2 stranici in 2 kota, kajti n-kotnik ima vedno n stranic in n kotov, v evklidski in hiperbolični geom pa še zanje nisem slišal (no enkrat samkrat že, ampak…).

Prodajanje megle je seveda žargonski izraz za nekaj kar nima vrednosti, čeprav se kaže kot da pa jo ima; o tem, čemer ti praviš skrajni pogoji pa sem pisal že v prvem (in drugem) odstavku. Sem spada tudi pavšalna ocena, da 'definicije p poliedrov, če se ne omejiš na geom prostor, nimajo več tolikšnega smisla….'. 'Neevkl geometrije niso izmišljene (imaginarne), neresnične konstrukcije; njeni zakoni so izpolnjeni na ploskvah, ki ležijo v realnem trirazsežnem prostoru' (Aleksandrov).

Najbolj bi se pa res strinjal s trditvijo, da lahko smatraš kroglo kot p polieder z neskončno skladnimi ploskvami (če si pod temi ploskvami mislil samo(!) pravilne 3, 4 ali 6-kotnike; in recimo, da spregledam skladna oglišča(!?) in ploskve brez dimenzij). Taka je tudi moja 'že davna' domneva. Dokazati morava samo še to, da je vsota kotov v pravilnem nesk majhnem trikotniku na sferi 180° (ali pa vsota kotov v nesk majhnem kvadratu na sferi 360°).

Še prej pa bodi bolj precizen: ali s tem smatranjem že uvrščaš kroglo med pravilne poliedre (čeprav še brez dokazov)?
In kaj misliš s tem, ko predvidevaš, da so rešitve iste – je po tvojem pravilnih poliedrov torej 5, 6 ali več?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ta o daljici 2-kotniku je spet ena taka, ki zamuja dober mesec.
Če nekdo vidi daljico kot 2-kotnik, gre le za subjektivno presojo, ne pa za splošno veljavno (matem dokazano) resnico, ker takega dokaza (še) ne poznam(o) pa tudi aksioma ne. Ju morda ti?
Sicer pa: 2-kotniki na sferi res obstajajo in imajo 2 stranici in 2 kota, kajti n-kotnik ima vedno n stranic in n kotov, v evklidski in hiperbolični geom pa še zanje nisem slišal (no enkrat samkrat že, ampak…).
No, tukaj pa teorija govori meni v prid. Konveksna množica točk napeta na oglišča je definirana:
r=p1*a1+p2*a2+...+pnan; a1+a2+a3+...+an=1, vsi so pozitivni.
V tem smislu je 2-kotnik konveksen. Ker sta njegovi stranici skladni, oglišči pa tudi, je pravilen. Ploščina je seveda enaka nič. (To je zdej v RAVNEM prostoru). Še celo točka je lahko pravilni polieder.


Kar se tiče tega, da so v neevklidskih geometrijah pravilni poliedrih isti, krogle kot limitni primer nisem stel zraven. Torej-pravilnih poliedroj je jasno 5 v konservativnem smislu. Lep dan zelim.

mungo
Prispevkov: 5
Pridružen: 17.4.2005 15:42

Odgovor Napisal/-a mungo »

Podrobno sem pregledal vse kar si zapisal in moram reči, da je tvoje pisanje polno kontradikcij, da ne uporabim drugega (že zapisanega) izraza. Kot sem že omenil: jasnost, strogost in doslednost izražanja so ti karseda tuje.

Tisto, kar ti ne paše, preskočiš brez omembe, zapičiš pa se v daljico, (ki ni pomembna za obravnavano temo), da bi mi s pomočjo teorije dokazal, da se motim glede dvokotnika, a si se tudi tukaj sam ujel: najprej govoriš o (eni!) daljici, ki jo vidiš kot dvokotnik, nato pa o skladnih stranicah – torej dveh(!??). Kje tukaj teorija govori tebi v prid, saj si govoril o eni daljici, kajne??
Enkrat praviš, da lahko smatraš kroglo kot pravilni polieder, drugič pa, da kot limitni primer ne… Točka je lahko p polieder ali pa ne….Nično ploskev pa kar istovetiš z neskončno majhno ploskvijo….
Takšno izražanje, oz. kvazidokazovanje svojega prav je precej neresno in že kar smešno ter ni vredno resne razprave, sploh pa ne matematične.

Povzetek vsega je, da žal, nisi skoraj ničesar prispeval k razjasnitvi postavljenega vprašanja, čeprav je treba priznati, da si se zelo angažiral.
Zato še enkrat lepo prosim: osredotoči se na postavljeno vprašanje, nepotrebna izvajanja, ki pa kljub vsemu naprezanju ne pripomorejo k razjasnitvi vprašanja, ampak prej odvračajo pozornost od obravnavane teme pa prihrani za kakšno drugo razpravo.
LP

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

mungo napisal/-a:Tisto, kar ti ne paše, preskočiš brez omembe, zapičiš pa se v daljico, (ki ni pomembna za obravnavano temo), da bi mi s pomočjo teorije dokazal, da se motim glede dvokotnika, a si se tudi tukaj sam ujel: najprej govoriš o (eni!) daljici, ki jo vidiš kot dvokotnik, nato pa o skladnih stranicah – torej dveh(!??). Kje tukaj teorija govori tebi v prid, saj si govoril o eni daljici, kajne??
Daljica ze, vendar od prvega oglisca do drugega in nazaj. Opisana ploscina je pa nic. Tu ni kontradikcij. O samodokazovanju svojega prav pa bi bilo vec pripomb na tvoje komentarje kot na moje!!! :twisted: :twisted:

Krogla je limitni primer, omenil sem samo asociacijo na prvotno temo.

Odgovori