graf funkcije 1/x

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
andre
Prispevkov: 3
Pridružen: 31.8.2005 13:57

graf funkcije 1/x

Odgovor Napisal/-a andre »

Sem nov član vašega foruma, tako da ne vem ali je bilo moje vprašanje že kdaj prej zastavljeno ali ne.
Pa vseeno...

Vzemimo graf funkcije 1/x in se omejimo le na prvi kvadrant.Zanima me ali je ploščina pod grafom 1/x končna ali neskončna, če vzamemo meji x-a 1 in oo(neskončno)?Ali zna kdo to dokazati?

Lep pozdrav vsem! :)

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

To izračunaš s posplošenim ali izlimitiziranim integralom. Integral funkcije 1/x je lnx. Ta funkcija pa je monotono naraščajoča in nima limite v neskončnosti. Ploščine na intervalu [1, neskončno] ne moreš določiti.
Integral funkcije 1/x^2 pa ima limito v neskončnosti (0) - zato je ploščina na intervalu [1, neskončno]=1.

andre
Prispevkov: 3
Pridružen: 31.8.2005 13:57

Odgovor Napisal/-a andre »

A potem to pomeni, da ploščina ni končna?

Pa še nekaj me zanima:

Če izračunam volumen vrtenine grafa funkcije 1/x na intervalu od 1 proti oo z določenim integralom (pi*integral((1/x)^2))dobim da je volumen vrtenine na tem intervalu končen in sicer enak 1. Al je to možno?Če ni, kje sem se zmotil pri računanju?

Hvala,lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ploscina pod 1/x je neskoncna od 0 do 1 in od 1 do oo.
V splosnem od x^-1 ,x^-2,... je integral neskoncen od 0 do 1,
od x^-1,x^0,x^1,x^1.231,... pa je neskoncen od 1 do oo.

Izracunal si prav, lahko je volumen koncen, ploscina pa neskoncna. Kvadrati pac hitreje padajo. 8)

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Je kar preprosto. Imaš recimo navadni določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a,b]. Pripeti se, da b raste preko vsake meje. Integral, ko gre b proti neskončno izračunaš z limito takole.
[img]http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ ... oper_4.gif[\img]
Pri računanju volumna si funkcijo 1/x kvadriral. Integral 1/x^2 je -1/x. V neskončnosti je limita te funkcije 0. Zato je volumen iskane vrtenine V=pi(0-(-1))=pi[\b].

andre napisal/-a:A potem to pomeni, da ploščina ni končna?

Tako. Določeni integral funkcije ene spremenljivke na intervalu [1, neskončno] nima limite v neskončnosti, zato ni možno določiti ploščine. Če pa bi postavil mejo recimo [1, a], pa bi bila ploščina povsem določena, in sicer za funkcijo 1/x je to lnb.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Bom še enkrat probal, očitno sem nekaj zgrešil.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Je kar preprosto. Imaš recimo navadni določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a,b]. Pripeti se, da b raste preko vsake meje. Integral, ko gre b proti neskončno izračunaš z limito takole.
Slika
Pri računanju volumna si funkcijo 1/x kvadriral. Integral 1/x^2 je -1/x. V neskončnosti je limita te funkcije 0. Zato je volumen iskane vrtenine V=pi(0-(-1))=pi.
andre napisal/-a:A potem to pomeni, da ploščina ni končna?


Tako. Določeni integral funkcije ene spremenljivke na intervalu [1, neskončno] nima limite v neskončnosti, zato ni možno določiti ploščine. Če pa bi postavil mejo recimo [1, a], pa bi bila ploščina povsem določena, in sicer za funkcijo 1/x je to lnb.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14573
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

andre napisal/-a:A potem to pomeni, da ploščina ni končna?

Pa še nekaj me zanima:

Če izračunam volumen vrtenine grafa funkcije 1/x na intervalu od 1 proti oo z določenim integralom (pi*integral((1/x)^2))dobim da je volumen vrtenine na tem intervalu končen in sicer enak 1. Al je to možno?Če ni, kje sem se zmotil pri računanju?
Ker izlimitirani integral divergira, ploščina ni končna. To lahko povežeš s tem, da ravno tako divergira (nima končne vsote) harmonična vrsta (1+1/2+1/3+1/4+...), torej vrsta s s splošnim členom 1/n, kjer je n naravno število.

Volumen je končen in je enak pi (pozabil si množiti vrednost določenega integrala s pi).

andre
Prispevkov: 3
Pridružen: 31.8.2005 13:57

Odgovor Napisal/-a andre »

Hvala vsem za obrazložitav.
:D
Lp

Odgovori