graf funkcije 1/x
graf funkcije 1/x
Sem nov član vašega foruma, tako da ne vem ali je bilo moje vprašanje že kdaj prej zastavljeno ali ne.
Pa vseeno...
Vzemimo graf funkcije 1/x in se omejimo le na prvi kvadrant.Zanima me ali je ploščina pod grafom 1/x končna ali neskončna, če vzamemo meji x-a 1 in oo(neskončno)?Ali zna kdo to dokazati?
Lep pozdrav vsem!
Pa vseeno...
Vzemimo graf funkcije 1/x in se omejimo le na prvi kvadrant.Zanima me ali je ploščina pod grafom 1/x končna ali neskončna, če vzamemo meji x-a 1 in oo(neskončno)?Ali zna kdo to dokazati?
Lep pozdrav vsem!
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
To izračunaš s posplošenim ali izlimitiziranim integralom. Integral funkcije 1/x je lnx. Ta funkcija pa je monotono naraščajoča in nima limite v neskončnosti. Ploščine na intervalu [1, neskončno] ne moreš določiti.
Integral funkcije 1/x^2 pa ima limito v neskončnosti (0) - zato je ploščina na intervalu [1, neskončno]=1.
Integral funkcije 1/x^2 pa ima limito v neskončnosti (0) - zato je ploščina na intervalu [1, neskončno]=1.
A potem to pomeni, da ploščina ni končna?
Pa še nekaj me zanima:
Če izračunam volumen vrtenine grafa funkcije 1/x na intervalu od 1 proti oo z določenim integralom (pi*integral((1/x)^2))dobim da je volumen vrtenine na tem intervalu končen in sicer enak 1. Al je to možno?Če ni, kje sem se zmotil pri računanju?
Hvala,lp
Pa še nekaj me zanima:
Če izračunam volumen vrtenine grafa funkcije 1/x na intervalu od 1 proti oo z določenim integralom (pi*integral((1/x)^2))dobim da je volumen vrtenine na tem intervalu končen in sicer enak 1. Al je to možno?Če ni, kje sem se zmotil pri računanju?
Hvala,lp
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Je kar preprosto. Imaš recimo navadni določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a,b]. Pripeti se, da b raste preko vsake meje. Integral, ko gre b proti neskončno izračunaš z limito takole.
[img]http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ ... oper_4.gif[\img]
Pri računanju volumna si funkcijo 1/x kvadriral. Integral 1/x^2 je -1/x. V neskončnosti je limita te funkcije 0. Zato je volumen iskane vrtenine V=pi(0-(-1))=pi[\b].
Tako. Določeni integral funkcije ene spremenljivke na intervalu [1, neskončno] nima limite v neskončnosti, zato ni možno določiti ploščine. Če pa bi postavil mejo recimo [1, a], pa bi bila ploščina povsem določena, in sicer za funkcijo 1/x je to lnb.
[img]http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ ... oper_4.gif[\img]
Pri računanju volumna si funkcijo 1/x kvadriral. Integral 1/x^2 je -1/x. V neskončnosti je limita te funkcije 0. Zato je volumen iskane vrtenine V=pi(0-(-1))=pi[\b].
andre napisal/-a:A potem to pomeni, da ploščina ni končna?
Tako. Določeni integral funkcije ene spremenljivke na intervalu [1, neskončno] nima limite v neskončnosti, zato ni možno določiti ploščine. Če pa bi postavil mejo recimo [1, a], pa bi bila ploščina povsem določena, in sicer za funkcijo 1/x je to lnb.
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Je kar preprosto. Imaš recimo navadni določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a,b]. Pripeti se, da b raste preko vsake meje. Integral, ko gre b proti neskončno izračunaš z limito takole.
Pri računanju volumna si funkcijo 1/x kvadriral. Integral 1/x^2 je -1/x. V neskončnosti je limita te funkcije 0. Zato je volumen iskane vrtenine V=pi(0-(-1))=pi.
Tako. Določeni integral funkcije ene spremenljivke na intervalu [1, neskončno] nima limite v neskončnosti, zato ni možno določiti ploščine. Če pa bi postavil mejo recimo [1, a], pa bi bila ploščina povsem določena, in sicer za funkcijo 1/x je to lnb.
Pri računanju volumna si funkcijo 1/x kvadriral. Integral 1/x^2 je -1/x. V neskončnosti je limita te funkcije 0. Zato je volumen iskane vrtenine V=pi(0-(-1))=pi.
andre napisal/-a:A potem to pomeni, da ploščina ni končna?
Tako. Določeni integral funkcije ene spremenljivke na intervalu [1, neskončno] nima limite v neskončnosti, zato ni možno določiti ploščine. Če pa bi postavil mejo recimo [1, a], pa bi bila ploščina povsem določena, in sicer za funkcijo 1/x je to lnb.
Ker izlimitirani integral divergira, ploščina ni končna. To lahko povežeš s tem, da ravno tako divergira (nima končne vsote) harmonična vrsta (1+1/2+1/3+1/4+...), torej vrsta s s splošnim členom 1/n, kjer je n naravno število.andre napisal/-a:A potem to pomeni, da ploščina ni končna?
Pa še nekaj me zanima:
Če izračunam volumen vrtenine grafa funkcije 1/x na intervalu od 1 proti oo z določenim integralom (pi*integral((1/x)^2))dobim da je volumen vrtenine na tem intervalu končen in sicer enak 1. Al je to možno?Če ni, kje sem se zmotil pri računanju?
Volumen je končen in je enak pi (pozabil si množiti vrednost določenega integrala s pi).