\(4R^4+12R^3+9R^2-18 \cdot 27 R-27^2=0\)? Ali kdo ve? Hvala
Elementarna teorija števil
Elementarna teorija števil
Kako se reši enačba 4. stopnje:
\(4R^4+12R^3+9R^2-18 \cdot 27 R-27^2=0\)? Ali kdo ve? Hvala
\(4R^4+12R^3+9R^2-18 \cdot 27 R-27^2=0\)? Ali kdo ve? Hvala
Re: Elementarna teorija števil
Poskušaš s faktorizacijo:
\(4R^4+12R^3+9R^2-486R-729=R^2(4R^2+12R+9)-243(2R+3)=R^2(2R+3)^2-243(2R+3)=(2R+3)(R^2(2R+3)-243)\)
Desni faktor zmnožiš in faktoriziraš z "brute force":
\(2R^3+3R^2-243=(2R+a)(R^2+bR+c)=2R^3+(a+2b)R^2+(ab+2c)R+ac\)
Primerjava koeficientov ti da sistem enačb:
\(a+2b=3\)
\(ab+2c=0\)
\(ac=-243\)
z rešitvami:
\(a=-9\), \(b=6\) in \(c=27\).
Preostali polinom druge stopnje je v realnem nerazcepen.
\(4R^4+12R^3+9R^2-486R-729=R^2(4R^2+12R+9)-243(2R+3)=R^2(2R+3)^2-243(2R+3)=(2R+3)(R^2(2R+3)-243)\)
Desni faktor zmnožiš in faktoriziraš z "brute force":
\(2R^3+3R^2-243=(2R+a)(R^2+bR+c)=2R^3+(a+2b)R^2+(ab+2c)R+ac\)
Primerjava koeficientov ti da sistem enačb:
\(a+2b=3\)
\(ab+2c=0\)
\(ac=-243\)
z rešitvami:
\(a=-9\), \(b=6\) in \(c=27\).
Preostali polinom druge stopnje je v realnem nerazcepen.
Re: Elementarna teorija števil
Hvala za odgovor. Približno razumem. Tam, kjer se vpelje \(a, b, c\) se pa ne bi spomnila.
Zanima me še:
1. Zakaj ostane polinom 2. stopnje, kje to vidimo?
2. "brute force"... na predavanjih se sprašujem kaj točno to pomeni (da nekaj narediš 'na silo'?)
Ena druga naloga.
Poišči naravne rešitve enačbe:
\(16x+17y+40z=140\), opazim, da mora biti \(y=4k\) in dobim enačbo \(4x+17k+10z=35\), kako pa dalje? hm
Hvala za pomoč.
Zanima me še:
1. Zakaj ostane polinom 2. stopnje, kje to vidimo?
2. "brute force"... na predavanjih se sprašujem kaj točno to pomeni (da nekaj narediš 'na silo'?)
Ena druga naloga.
Poišči naravne rešitve enačbe:
\(16x+17y+40z=140\), opazim, da mora biti \(y=4k\) in dobim enačbo \(4x+17k+10z=35\), kako pa dalje? hm
Hvala za pomoč
.Re: Elementarna teorija števil
1. Polinom druge stopnje \(R^2+bR+c\) je eden od faktorjev v zadnjem razcepu in ga za \(b=6\) in \(c=27\) nadalje v realnem ni več mogoče razcepiti (pač nima realnih ničel).
2. No, to je le sinonim za uporabo nastavkov in podobnega: v tem primeru pač nastaviš razcep z neznanimi koeficienti (razen vodilnih), zmnožiš in primerjaš koeficiente. Podobno postopaš pri integralih racionalnih funkcij (ekspanzija na parcialne ulomke), kjer neznane koeficiente v števcih parcialnih ulomkov tudi lahko tako določaš.
V zvezi z diofantsko enačbo pa si že dobila odgovor:
viewtopic.php?p=80680#p80680
2. No, to je le sinonim za uporabo nastavkov in podobnega: v tem primeru pač nastaviš razcep z neznanimi koeficienti (razen vodilnih), zmnožiš in primerjaš koeficiente. Podobno postopaš pri integralih racionalnih funkcij (ekspanzija na parcialne ulomke), kjer neznane koeficiente v števcih parcialnih ulomkov tudi lahko tako določaš.
V zvezi z diofantsko enačbo pa si že dobila odgovor:
viewtopic.php?p=80680#p80680
Re: Elementarna teorija števil
Pokaži: Če je \(h\) največji skupni delitelj števil \(a\) in \(b\), obstajata taki celi števili \(a\) in \(b\), da je \(ap+bq=h\). Za konkreten primer vidim, da je tako, da pač najprej izračunaš največji skupni delitelj, potem pa tisti zadnji ostanek izraziš z \(a\) in \(b\) in imaš. Samo, kako pa v splošnem to narediš?