Zgodovina matematike
Re: Zgodovina matematike
Da ne bo pomote pri množenju in deljenju ni pomemben vrstni red računskih operacija. Tako da je enačba \(S=\frac{O}{2} r\) popolnoma enaka enačbi \(S=\frac{r}{2} O\)
Re: Zgodovina matematike
Hvala za odgovor. To, da je notri: \(S=\pi r^2, ob=2 \pi r\), to sem opazila. Zanima me v bistvu, kaj izhaja iz česa, kaj je bilo prej. Ali so že poznali ti dve formuli s \(\pi\) in iz tega potem dobili polovico polmera krat obseg? ali ravno obratno? Lp
Re: Zgodovina matematike
To je spraševanje tipa, kaj je bilo prej, kura ali jajce: eno pač implicira drugo in obratno. Arhimed je pač vedel oboje in če se dobro spomnim, je v enem eseju najprej geometrijsko pokazal povezavo med ploščino kroga in obsegom in nato šele med obsegom in polmerom/premerom.
Re: Zgodovina matematike
Koliko se spomnim so \(\pi\) računali že Sumerci 2000. pr. nš, glede na to da \(\pi\) ni druga kot razmerje med obsegom in premerom (\(\frac {O}{d}\)). Sklepam da so računali to razmerje, da bi z pomočjo te konstante lahko hitro izračunali obseg kroga (kar verjetno takrat ni bilo tako preprosto kot izmeriti premer). Sem misli povedati, da verjetno sledi ploščina iz obsega iz preprostega dokaza. Ampak to kar sem imel v mislih ne pride v poštev, saj Arhimed še ni znal integrirat
Re: Zgodovina matematike
V bistvu so primerjali ravno ploščine: kroga in kvadrata in približno ugotovili, da ima krog s polmerom 1 ploščino približno 3.
Arhimed resda ni poznal infinitezimalnega računa, je pa na osnovi v krožnico očrtanih in včrtanih pravilnih večkotnikov prišel do približka za razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. Ta njegov pristop pa je bil samo korak od infinitezimalnega računa: ko gre število stranic pravilnega večkotnika preko vseh meja, gredo dolžine njegovih stranic proti 0 in takrat se večkotnik natanko prilega krožnici oz. obsegu kroga.
Arhimed resda ni poznal infinitezimalnega računa, je pa na osnovi v krožnico očrtanih in včrtanih pravilnih večkotnikov prišel do približka za razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. Ta njegov pristop pa je bil samo korak od infinitezimalnega računa: ko gre število stranic pravilnega večkotnika preko vseh meja, gredo dolžine njegovih stranic proti 0 in takrat se večkotnik natanko prilega krožnici oz. obsegu kroga.
Re: Zgodovina matematike
Morda bi tu bilo umestno omeniti, da so za \(\pi\) uporabljali tudi različne približke, kot sta \(\frac{22}{7}\) in \(\sqrt{10}\). https://sl.wikipedia.org/wiki/Zgodovina ... ila_%CF%80.
Re: Zgodovina matematike
Kakšna je odvisnost razmerja obsega in premera kroga od ukrivljenosti prostora? Ali se recimo pri trajektorijah stacionarnih satelitov že kaj razlikuje od Pi?
Re: Zgodovina matematike
http://www.physicspages.com/2013/04/05/ ... oordinate/derik napisal/-a:Kakšna je odvisnost razmerja obsega in premera kroga od ukrivljenosti prostora? Ali se recimo pri trajektorijah stacionarnih satelitov že kaj razlikuje od Pi?
Re: Zgodovina matematike
Rešiti moram Diofantsko enačbo: \(7x+6y=176\), dobim dve splošni rešitvi: \(x=176-6k\) in \(y=-176+7k\), pri čemer \(x,y \geq 0\). Dobim torej 4. rešitve? \(k= 26, 27, 28, 29\),...to mi je sicer malo čudno? Je prav?
Re: Zgodovina matematike
Je.delta napisal/-a:Rešiti moram Diofantsko enačbo: \(7x+6y=176\), dobim dve splošni rešitvi: \(x=176-6k\) in \(y=-176+7k\), pri čemer \(x,y \geq 0\). Dobim torej 4. rešitve? \(k= 26, 27, 28, 29\),...to mi je sicer malo čudno? Je prav?
Manjše številke (končna rešitev je seveda ista) dobiš, če s pomočjo enakosti \(176=7\cdot 25+1\) začetno enačbo preoblikuješ v \(7(x-25)+6y=1\). Potem se rešuje enačbo \(7x'+6y=1\), kjer je \(x'=x-25\).
Re: Zgodovina matematike
Hvala . Kaj pa ti dve nalogi?
1. Pravilni 14-kotnik s stranico \(x\) je včrtan v krog s polmerom \(a\). Z Evklidovo idejo se da dobiti povezavo med \(a\) in \(x\) takole:
Poglejmo si enega od 14 enakokrakih trikotnikov, na katere razpade 14-kotnik. Njegovo osnovnico dolžine \(x\) označimo z \(BC\), vrh (središče kroga) pa z A. Na kraku \(AC\) izberi točko \(D \neq C\), tako da je \(BD=BC=x\). Nato na kraku \(AB\) izberi točko \(E \neq B\), tako da je \(DE=x\).
a) Pokaži, da je tudi \(AE=x\).
c) Naj bo \(U\) pravokotna projekcija točke \(E, T\) pa pravokotna projekcija točke \(B\) na krak \(AC\). Pokaži, da velja \(AB \cdot AU = AE \cdot AT\) in od tod izpelji enačbo, ki povezuje \(x\) in \(a\).
Op.: c) prvi del (pokaži) znam.
2. S pomočjo Cavalierijevega načela izračunaj prostornino torusa, ki nastane, ko krog s polmerom \(a\) zavrtimo okrog premice v ravnini kroga, ki je za \(b>a\) oddaljena od središča kroga.
Nasvet: Torus postavi na ravnino, ki jepravokotna na njegovo os. Nato primerjaj torus s primernim valjem.
Če kdo kaj ve , bi rabila do jutri. Najlepša hvala. lp
1. Pravilni 14-kotnik s stranico \(x\) je včrtan v krog s polmerom \(a\). Z Evklidovo idejo se da dobiti povezavo med \(a\) in \(x\) takole:
Poglejmo si enega od 14 enakokrakih trikotnikov, na katere razpade 14-kotnik. Njegovo osnovnico dolžine \(x\) označimo z \(BC\), vrh (središče kroga) pa z A. Na kraku \(AC\) izberi točko \(D \neq C\), tako da je \(BD=BC=x\). Nato na kraku \(AB\) izberi točko \(E \neq B\), tako da je \(DE=x\).
a) Pokaži, da je tudi \(AE=x\).
c) Naj bo \(U\) pravokotna projekcija točke \(E, T\) pa pravokotna projekcija točke \(B\) na krak \(AC\). Pokaži, da velja \(AB \cdot AU = AE \cdot AT\) in od tod izpelji enačbo, ki povezuje \(x\) in \(a\).
Op.: c) prvi del (pokaži) znam.
2. S pomočjo Cavalierijevega načela izračunaj prostornino torusa, ki nastane, ko krog s polmerom \(a\) zavrtimo okrog premice v ravnini kroga, ki je za \(b>a\) oddaljena od središča kroga.
Nasvet: Torus postavi na ravnino, ki jepravokotna na njegovo os. Nato primerjaj torus s primernim valjem.
Če kdo kaj ve , bi rabila do jutri. Najlepša hvala. lp
Re: Zgodovina matematike
Zanimata me dve stvari:
1. kako dokažeš formulo za ploščino tetivnega štirikotnika: \(p=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\), kjer je \(s=\frac{a+b+c+d}{2}\) s pomočjo sinusnega in kosinusnega izreka.
2. kako dokažeš, da je ploščina za tetivni štirikotnik, ki je tudi tangentni enaka \(p=\sqrt{abcd}\)?
Lepo prosim za pomoč. Hvala
1. kako dokažeš formulo za ploščino tetivnega štirikotnika: \(p=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\), kjer je \(s=\frac{a+b+c+d}{2}\) s pomočjo sinusnega in kosinusnega izreka.
2. kako dokažeš, da je ploščina za tetivni štirikotnik, ki je tudi tangentni enaka \(p=\sqrt{abcd}\)?
Lepo prosim za pomoč. Hvala
Re: Zgodovina matematike
Razmišljam o površini krogle.
Guldinovo pravilo pravi: \(P= \pi R 2\pi R= 2 \pi^2 R^2\), poznamo pa formulo: \(P=4 \pi R^2\).
Zakaj ne pride enako?
Hvala, lp
Guldinovo pravilo pravi: \(P= \pi R 2\pi R= 2 \pi^2 R^2\), poznamo pa formulo: \(P=4 \pi R^2\).
Zakaj ne pride enako?
Hvala, lp
Re: Zgodovina matematike
Zato ker moraš množiti s potjo težišča krivulje okoli osi vrtenja. V primeru računanja površine krogle je krivulja polkrožnica z dolžino \(\pi r\), njeno težišče se nahaja na razdalji \(\frac{2r}{\pi}\) od osi vrtenja, pot, ki jo opravi težišče pri vrtenju, pa je \(2\pi\cdot\frac{2r}{\pi}\). Po Pappusu in Guldinu je površina krogle:
\(P=\pi r\cdot 2\pi\cdot\frac{2r}{\pi}=4\pi r^2\)
\(P=\pi r\cdot 2\pi\cdot\frac{2r}{\pi}=4\pi r^2\)