(Naloge, vprašanja so na Mat. obzorja, 5.4.2016)
Vsak graf zvezne preslikave \(R^m \rightarrow R^n\) je mnogoterost. Obratno ne velja v splošnem. Je pa vsaka mnogoterost lokalno graf zvezne preslikave.
Podobno je vsaka mnogoterost lokalno nivojska množica preslikave.
...je to ravno vsebina izreka o implicitni fji?
Če pogledamo limite: \(\lim 0\)* (zvezna fja) in \(\lim 0\)* (nezvezna fja) oboje torej \(=0\). Torej ni nujno, da je zvezna?...kaj pa če imamo racionalno fjo in v imenovalcu \(0\) ?...potem se lahko zgodi, da limita ne obstaja?
\(S1\) je brez roba in kompaktna. Topologija pravi, da je množica kompaktna \(\Leftrightarrow\) ko je zaprta in omejena.
Tega ne razumem, kako je lahko brez roba, torej brez robnih točk (vse so notranje oz. za vsako najdemo okolico, ki je homeo odprti podmnožici v \(R^2\)). Zaprta ravno pomeni, da je\(A=\bar{A}\), torej zaprtje množice je enaka množici. Kako ima lahko rob zraven in je brez roba?
Nivojska množica je praslika neke točke: \(f^{(-1)}(c)\), zakaj je \(S1\) nivojska množica, lep primer.
Zakaj je zaprta množica nivojska, tega pa ne razumem čisto. Ali je začetna predpostavka, da vzamemo \(A\) zaprto? Zakaj razdalja, ne razumem zapisa,...najbrž gledamo razdaljo od množice \(A\) do \(A\), torej\(=0\). Lp
MO
Re: MO
Recimo. Izrek o implicitni preslikavi pove obratno: vsaka lokalno nivojska množica je mnogoterost.delta napisal/-a:(Naloge, vprašanja so na Mat. obzorja, 5.4.2016)
Vsak graf zvezne preslikave \(R^m \rightarrow R^n\) je mnogoterost. Obratno ne velja v splošnem. Je pa vsaka mnogoterost lokalno graf zvezne preslikave.
Podobno je vsaka mnogoterost lokalno nivojska množica preslikave.
...je to ravno vsebina izreka o implicitni fji?
V bistvu še zmerom nisem siguren, ali te prav razumem, ker nisi napisala vprašanja "matematično eksaktno". Eno je gotovo: nič krat karkoli je nič. Na primer, limita \(\lim_{x\to 0}(0\cdot\frac{1}{x})\) je enaka nič, ne glede na to, da \(\frac{1}{x}\) v \(x=0\) ni zvezna (in ima tam pol).Če pogledamo limite: \(\lim 0\)* (zvezna fja) in \(\lim 0\)* (nezvezna fja)
Gre za "rob" v dveh različnih pomenih, rob mnogoterosti je nekaj drugega kot rob množice. Kot mnogoterost \(S^1\) nima roba. Kot množica pa je odvisno, v katero množico jo vložimo. Recimo, \(S^1\) kot podmnožica \(\mathbb{R}^2\) ima vsako točko robno, \(S^1\) kot podmnožica same sebe pa je brez roba (kot množica).\(S1\) je brez roba in kompaktna. Topologija pravi, da je množica kompaktna \(\Leftrightarrow\) ko je zaprta in omejena.
Tega ne razumem, kako je lahko brez roba, torej brez robnih točk (vse so notranje oz. za vsako najdemo okolico, ki je homeo odprti podmnožici v \(R^2\)). Zaprta ravno pomeni, da je\(A=\bar{A}\), torej zaprtje množice je enaka množici. Kako ima lahko rob zraven in je brez roba?
Da.Nivojska množica je praslika neke točke: \(f^{(-1)}(c)\), zakaj je \(S1\) nivojska množica, lep primer.
Zakaj je zaprta množica nivojska, tega pa ne razumem čisto. Ali je začetna predpostavka, da vzamemo \(A\) zaprto?
\(A\) je zaprta podmnožica \(\mathbb{R}^n\). Gledamo preslikavo \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), ki vsaki točki \(x\in\mathbb{R}^n\) priredi razdaljo med \(x\) in \(A\), to je \(f(x)=d(x,A)\). Seveda to ni nič, če je \(x\) zunaj množice \(A\). V bistvu je \(0\) natanko tedaj, ko je \(x\in A\), to pa ravno pomeni, da je \(A=f^{-1}(0)\).Zakaj razdalja, ne razumem zapisa,...najbrž gledamo razdaljo od množice \(A\) do \(A\), torej\(=0\). Lp
Re: MO
Hvala 
.
Ja, tisto sem mislila \(0 * (karkoli)\). Ok potem je vedno \(0\), samo jaz se spomnim, če je bilo\(0/0\) potem smo L'h pravilo morali uporabit, kar pomeni, da še ni vredu.
Ostalo jasno
Kako pa je pri zaprti množici?...ali ne bi isto veljalo tudi za odprto?...saj če bi bila točka znotraj odprte, bi tudi veljalo \(A=f^(-1)(0)\), ali ni tako?
.Ja, tisto sem mislila \(0 * (karkoli)\). Ok potem je vedno \(0\), samo jaz se spomnim, če je bilo\(0/0\) potem smo L'h pravilo morali uporabit, kar pomeni, da še ni vredu.
Ostalo jasno
Kako pa je pri zaprti množici?...ali ne bi isto veljalo tudi za odprto?...saj če bi bila točka znotraj odprte, bi tudi veljalo \(A=f^(-1)(0)\), ali ni tako?
Re: MO
L'Hospitalovo pravilo se uporablja ne za množenje z \(0\), ampak za računanje limit, v katerih gresta števec in imenovalec proti \(0\). "Iti proti nič" je pa seveda nekaj čisto drugega kot "biti enak nič".delta napisal/-a:Hvala
Ja, tisto sem mislila \(0 * (karkoli)\). Ok potem je vedno \(0\), samo jaz se spomnim, če je bilo\(0/0\) potem smo L'h pravilo morali uporabit, kar pomeni, da še ni vredu.
Če je množica \(A\) odprta, je lahko razdalja \(d(x,A)\) enaka \(0\), tudi če je \(x\) zunaj \(A\).Kako pa je pri zaprti množici?...ali ne bi isto veljalo tudi za odprto?...saj če bi bila točka znotraj odprte, bi tudi veljalo \(A=f^(-1)(0)\), ali ni tako?
Re: MO
Kaj je vsebina izreka o inverzni in implicitni fji? Kakšen primer kje se uporablja?
Podana je preslikava \(f:R^n \rightarrow R^n\) s predpisom \(f(x,y)=(x^3y+1,x^2+y^2)\). Določi točke, kjer je \(f\) lokalni \(C^\infty\) -difeomorfizem. Hvala
Podana je preslikava \(f:R^n \rightarrow R^n\) s predpisom \(f(x,y)=(x^3y+1,x^2+y^2)\). Določi točke, kjer je \(f\) lokalni \(C^\infty\) -difeomorfizem. Hvala
Re: MO
Joj delta, tvoja vprašanja so tako splošna ... Gladke mnogoterosti, izrek o implicitni funkciji itd. so v glavnem snov Analize 3 na FMF. Izčrpno razlago z vsemi definicijami in primeri je mogoče najti v zapiskih iz tega predmeta (morda obstaja tudi kak slovenski učbenik, vprašaj v knjižnici). Seveda je vse moč najti tudi na Wikipediji, tako da ne vem, če ima vse te definicije smisel copy/pastati na ta forum.delta napisal/-a:Kaj je vsebina izreka o inverzni in implicitni fji? Kakšen primer kje se uporablja?
Podana je preslikava \(f:R^n \rightarrow R^n\) s predpisom \(f(x,y)=(x^3y+1,x^2+y^2)\). Določi točke, kjer je \(f\) lokalni \(C^\infty\) -difeomorfizem. Hvala
Glede konkretnega primera, ki ga daješ: pogoj je ta, da je (totalni) odvod preslikave nesingularen (kot matrika). Izračunaš torej vse parcialne odvode, jih vržeš v matriko in pogledaš, če je nesingularna ...
Re: MO
Glede primera razumem. , hvala. Ostalo, kar zadeva izrek o impl. in inverzni imam napisano, ampak želim vedeti, kaj to dejansko pomeni, (pri inverzni mora npr. biti odvod difeo). Izrek o implicitni pa, da je lokalno vedno graf preslikave, zato je mnt. Zanim me z 'domačimi' besedami, pač, nekateri znajo to spisat vse okolice, kaj pa pomeni pa ne vedo. Za implicitni izrek vem še, da moraš imet dva pogoja: da mora bit matrika surjektivna in da je fja zvezno odvedljiva in da potem obstaja zvezno odvedljiva fja, katere graf je ravno nivojska množica (oz. mnt.). Je to ok? Za izrek o inverzni pa ne znam povedat, kaj bi pomenilo,...
, hvala. Ostalo, kar zadeva izrek o impl. in inverzni imam napisano, ampak želim vedeti, kaj to dejansko pomeni, (pri inverzni mora npr. biti odvod difeo). Izrek o implicitni pa, da je lokalno vedno graf preslikave, zato je mnt. Zanim me z 'domačimi' besedami, pač, nekateri znajo to spisat vse okolice, kaj pa pomeni pa ne vedo. Za implicitni izrek vem še, da moraš imet dva pogoja: da mora bit matrika surjektivna in da je fja zvezno odvedljiva in da potem obstaja zvezno odvedljiva fja, katere graf je ravno nivojska množica (oz. mnt.). Je to ok? Za izrek o inverzni pa ne znam povedat, kaj bi pomenilo,...Re: MO
Izrek o inverzni preslikavi:
Naj bo \(f:U\to\mathbb{R}^n\) neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava (\(r\ge 1\)), kjer je \(U\) neka odprta podmnožica \(\mathbb{R}^n\). Denimo, da je diferencial \(D_f(a)\) v neki točki \(a\in U\) obrnljiv (kot linearna preslikava). Potem obstaja neka odprta okolica \(V\subseteq{R}^n\) točke \(f(a)\), tako da je \(f:f^{-1}(V)\to V\) obrnljiva preslikava in je inverz \(f^{-1}:V\to f^{-1}(V)\) tudi \(\mathcal{C}^r\). Z drugimi besedami, \(f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V)\to V\) je \(\mathcal{C}^r\)-difeomorfizem.
Primer (za \(n=1\)):
Naj bo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3\). Potem je \(f\) razreda \(\mathcal{C}^\infty\). V točki \(a=2\) je diferencial \(D_f(2)=[f'(2)]=[3\cdot 2^2]=[12]\) obrnljiv (kot \(1\times 1\) matrika), zato obstaja okolica \(V\) točke \(f(2)=8\), da je \(f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V)\to V\) \(\mathcal{C}^\infty\)-difeomorfizem. V tem enostavnem primeru lahko \(V\) podamo konkretno, npr. \(V=(0,\infty)\). (Tak \(V\) je res okolica točke \(8\), \(f\), zožen na \(f^{-1}(V)=(0,\infty)\), pa je res gladki difeomorfizem (njegov inverz je seveda kar \(x\mapsto\sqrt[3]{x}\)).
Grafično izrek o inverzni preslikavi pove, da je \(f\) obrnljiva v neki okolici, čim funkcija v tisti točki ni "izrojena" (to v 1 dimenziji npr. pomeni, da ne sme biti vodoravna).
Naj bo \(f:U\to\mathbb{R}^n\) neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava (\(r\ge 1\)), kjer je \(U\) neka odprta podmnožica \(\mathbb{R}^n\). Denimo, da je diferencial \(D_f(a)\) v neki točki \(a\in U\) obrnljiv (kot linearna preslikava). Potem obstaja neka odprta okolica \(V\subseteq{R}^n\) točke \(f(a)\), tako da je \(f:f^{-1}(V)\to V\) obrnljiva preslikava in je inverz \(f^{-1}:V\to f^{-1}(V)\) tudi \(\mathcal{C}^r\). Z drugimi besedami, \(f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V)\to V\) je \(\mathcal{C}^r\)-difeomorfizem.
Primer (za \(n=1\)):
Naj bo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3\). Potem je \(f\) razreda \(\mathcal{C}^\infty\). V točki \(a=2\) je diferencial \(D_f(2)=[f'(2)]=[3\cdot 2^2]=[12]\) obrnljiv (kot \(1\times 1\) matrika), zato obstaja okolica \(V\) točke \(f(2)=8\), da je \(f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V)\to V\) \(\mathcal{C}^\infty\)-difeomorfizem. V tem enostavnem primeru lahko \(V\) podamo konkretno, npr. \(V=(0,\infty)\). (Tak \(V\) je res okolica točke \(8\), \(f\), zožen na \(f^{-1}(V)=(0,\infty)\), pa je res gladki difeomorfizem (njegov inverz je seveda kar \(x\mapsto\sqrt[3]{x}\)).
Grafično izrek o inverzni preslikavi pove, da je \(f\) obrnljiva v neki okolici, čim funkcija v tisti točki ni "izrojena" (to v 1 dimenziji npr. pomeni, da ne sme biti vodoravna).
Re: MO
Izrek o implicitni preslikavi je malo siten za formulirati. Ena od možnih formulacij je tale:
Naj bo \(f:U\to\mathbb{R}^n\) neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava (\(r\ge 1\)), kjer je \(U\) odprta podmnožica \(R^m\) in je \(m=n+k\) za nek \(k\ge 1\). Denimo, da je diferencial \(D_f(a)\) surjektiven (to je, maksimalnega ranga) v neki točki \(a=(a_1,\ldots,a_m)\in U\). Potem obstajajo indeksi \(1\le i_1\le\ldots\le i_n\le m\), neka odprta okolica \(V_1\) točke \((a_{i_1},\ldots,a_{i_n})\) ter odprta okolica \(V_2\) točke \((a_1,\ldots,a_{i_1-1},a_{i_1+1},\ldots,a_{i_2-1},a_{i_2+1},\ldots,a_{i_n-1},a_{i_n+1},\ldots,a_m)\) in neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava \(g:V_2\to\mathbb{R}^n\), tako da velja: če je \(x=(x_1,\ldots,x_m)\) taka točka, da je \(\tilde{x}=(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})\in V_1\) in \(\tilde{\tilde{x}}=(x_1,\ldots,x_{i_1-1},x_{i_1+1},\ldots,x_{i_2-1},x_{i_2+1},\ldots,x_{i_n-1},x_{i_n+1},\ldots,x_m)\in V_2\), potem je \(f(x)=f(a)\) natanko tedaj, ko je \(\tilde{x}=g(\tilde{\tilde{x}})\). Z drugimi besedami, nivojnica \(\{x|\ f(x)=f(a)\}\) je lokalno graf preslikave.
Primer (za \(n=1\) in \(m=2\)):
Naj bo \(f\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), \(f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\), ki je seveda razreda \(\mathcal{C}^\infty\). Izberimo točko \(a=(1,0)\). Potem je \(D_f(a)=[2\cdot 1,2\cdot 0]=[2,0]\) maksimalnega ranga, torej po izreku o implicitni preslikavi obstajajo \(i_1,V_1,V_2,g\), ki zadostijo zgornjim zahtevam. V tem preprostem primeru jih seveda ni težko konkretno podati, npr. \(i_1=1\) (tu nimamo izbire), \(V_1=(0,2)\), \(V_2=(-1,1)\) in \(g:V_2\to\mathbb{R}\), \(g(x_2)=\sqrt{1-x_2^2}\). Za vsak \((x_1,x_2)\in V_1\times V_2\) je potem res \(f(x_1,x_2)=1\) natanko tedaj, ko je \(x_1=g(x_2)\).
Naj bo \(f:U\to\mathbb{R}^n\) neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava (\(r\ge 1\)), kjer je \(U\) odprta podmnožica \(R^m\) in je \(m=n+k\) za nek \(k\ge 1\). Denimo, da je diferencial \(D_f(a)\) surjektiven (to je, maksimalnega ranga) v neki točki \(a=(a_1,\ldots,a_m)\in U\). Potem obstajajo indeksi \(1\le i_1\le\ldots\le i_n\le m\), neka odprta okolica \(V_1\) točke \((a_{i_1},\ldots,a_{i_n})\) ter odprta okolica \(V_2\) točke \((a_1,\ldots,a_{i_1-1},a_{i_1+1},\ldots,a_{i_2-1},a_{i_2+1},\ldots,a_{i_n-1},a_{i_n+1},\ldots,a_m)\) in neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava \(g:V_2\to\mathbb{R}^n\), tako da velja: če je \(x=(x_1,\ldots,x_m)\) taka točka, da je \(\tilde{x}=(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})\in V_1\) in \(\tilde{\tilde{x}}=(x_1,\ldots,x_{i_1-1},x_{i_1+1},\ldots,x_{i_2-1},x_{i_2+1},\ldots,x_{i_n-1},x_{i_n+1},\ldots,x_m)\in V_2\), potem je \(f(x)=f(a)\) natanko tedaj, ko je \(\tilde{x}=g(\tilde{\tilde{x}})\). Z drugimi besedami, nivojnica \(\{x|\ f(x)=f(a)\}\) je lokalno graf preslikave.
Primer (za \(n=1\) in \(m=2\)):
Naj bo \(f\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), \(f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\), ki je seveda razreda \(\mathcal{C}^\infty\). Izberimo točko \(a=(1,0)\). Potem je \(D_f(a)=[2\cdot 1,2\cdot 0]=[2,0]\) maksimalnega ranga, torej po izreku o implicitni preslikavi obstajajo \(i_1,V_1,V_2,g\), ki zadostijo zgornjim zahtevam. V tem preprostem primeru jih seveda ni težko konkretno podati, npr. \(i_1=1\) (tu nimamo izbire), \(V_1=(0,2)\), \(V_2=(-1,1)\) in \(g:V_2\to\mathbb{R}\), \(g(x_2)=\sqrt{1-x_2^2}\). Za vsak \((x_1,x_2)\in V_1\times V_2\) je potem res \(f(x_1,x_2)=1\) natanko tedaj, ko je \(x_1=g(x_2)\).