vektorji

[Večna študentka]

Lep pozdrav!

Ponavljam snov iz prvega letnika, ker je od takrat minilo že osem let pa me zanima, če mi lahko kdo osveži spomin, ker zapiskov svojih žal nimam več.

Naloga se glasi:

V paralelogramu \(ABCD\) označimo z \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\) in \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}\). Točke \(E, F, G\) in \(H\) naj zaporedoma ležijo na stranicah \(AB, BC, CD\) in \(DA\) tako, da velja:
\(|\overrightarrow{BF}|:|\overrightarrow{FC}|=2:1\)
\(|\overrightarrow{CG}|:|\overrightarrow{GD}|=1:2\)
\(|\overrightarrow{DH}|:|\overrightarrow{HA}|=2:1\)
in \(E\) razpolavlja stranico \(AB\). Označimo s \(S\) presečišče daljic \(EG\) in \(FH\).

a) Izrazi vektorje \(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{HF}, \overrightarrow{EG}, \overrightarrow{GF}\) z vektorjema \(\overrightarrow{a}\) in \(\overrightarrow{b}\).

b) Izrazi vektor \(\overrightarrow{AS}\) z vektorjema \(\overrightarrow{a}\) in \(\overrightarrow{b}\).

c) Določi koordinate točke \(S\), če imajo točke \(A,B,C\) koordinate \(A(1,-1,1), B(-2,0,1)\) in \(C(5,2,-1)\).

Recimo, da je skica natančno narisana.

VEKTORJI.png (5.37 KiB) Viewed 3346 times

Naloga a) je lahka...
\(\overrightarrow{AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{HF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{EG} = \frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{GF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\)

b) \(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{EG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+x(\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{a}x+\overrightarrow{b}x\). Tu se nič drugega ne spomnim. A mi lahko kdo pomaga dobit \(AS\)?

c) Kako je že s tem? A je povezana z b)?

Hvala tistemu, ki se mu bo dalo. Lp!

[Večna študentka]

Tok sem smotana, da mi je kar malo nerodno Sem prespala in prišla do rešitve za b). Jo bom napisala, če slučajno kdo naleti na podobno nalogo.

Najprej izpišemo dve poti po kateri lahko pridemo iz \(A\) do \(S\). To sta:

\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\lambda(\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b})\)
\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\mu(\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)

Zdaj pa izenačimo ti dve enačbici, da dobimo presečišče daljic \(EG\) in \(HF\). Dobimo:

\(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\mu\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{b} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\lambda\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\lambda\overrightarrow{b}\)

Premečemo na eno stran, izpostavimo \(\overrightarrow{a}\) in \(\overrightarrow{b}\) in dobimo:

\(\overrightarrow{a}(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\mu-\lambda) + \overrightarrow{b}(\mu-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\lambda)=0\)

Da je to res enako 0, mora bit to v oklepajih enako 0, torej dobimo 2 enačbi z 2 neznankama:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\mu-\lambda=0\)
\(\mu-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\lambda=0\)

Dobimo rešitvi:
\(\mu = \frac{9}{17}\) in \(\lambda = \frac{10}{17}\)

Vstavimo v eno izmed enačb za \(\overrightarrow{AS}\) (v obe, da je ziher preverjeno, da je prav) in dobimo:

\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{10}{17}(\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}) = \frac{10}{17}\overrightarrow{a}+\frac{9}{17}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{9}{17}(\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{10}{17}\overrightarrow{a}+\frac{9}{17}\overrightarrow{b}\)

To je to!

[Večna študentka]

c) Ratalo mi je zaenkrat izračunat koordinate točke \(D\) (ne vem še, a jih potrebujem pri izračunu koordinat za \(S\), ampak vseeno):

\(\overrightarrow{r}_D = \overrightarrow{r}_A + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{r}_A + \overrightarrow{BC} = (1,1,1)+\big((5,2,-1)-(-2,0,1)\big)=(8,3,-1)\)

No, točka \(D\) ima torej koordinate \((8,3,-1)\).

Moram premislit za koordinate točke \(S\). Ne branim se pa nasveta

[shrink]

Ja, c) rešiš na osnovi b), kjer v dobljeni zvezi:

\(\overrightarrow{AS} =\frac{10}{17}\overrightarrow{a}+\frac{9}{17}\overrightarrow{b}\)

pišeš:

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}\)

in

\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{r_D}-\overrightarrow{r_A}\)

Tako izračunaš \(\overrightarrow{AS}\) in od tod kooordinato S:

\(\overrightarrow{r_S}=\overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{AS}\)

[Večna študentka]

Aha, joj... Seveda Shrink.

Rešitev je potem za c) tole:

\(\overrightarrow{AS} = \frac{10}{17}\overrightarrow{a}+\frac{9}{17}\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A = (-2,0,1)-(1,-1,1) = (-3,1,0)\)

\(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{r}_D - \overrightarrow{r}_A = (8,3,-1)-(1,-1,1) = (7,4,-2)\)

Torej je potem:
\(\overrightarrow{AS} = \frac{10}{17}(-3,1,0)+\frac{9}{17}(7,4,-2)=(\frac{33}{17},\frac{46}{17},\frac{-18}{17})\)

In koordinate točke \(S\):

\(\overrightarrow{r}_S = \overrightarrow{r}_A + \overrightarrow{AS} = (1,-1,1)+(\frac{33}{17},\frac{46}{17},\frac{-18}{17}) = (\frac{50}{17},\frac{29}{17},\frac{-1}{17})\)

Shrink, vsakič mi priskočiš na pomoč, ne vem kaj naj rečem kot hvala in, da si res legenda!

[shrink]

Ni za kaj, saj si levji delež že sama naredila.

[Večna študentka]

Zanima me še za eno nalogo, če sem jo prav rešila, če se komu da preverit.

Dani sta ravnini \(\Sigma_1: x+y+2z=1\) in \(\Sigma_2: x-y=3\).

a) Poišči enačbo premice \(p\), v kateri se ravnini \(\Sigma_1\) in \(\Sigma_2\) sekata.
b) Dana je še premica \(q: \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{-1}=z-3\). Dokaži, da sta premici \(p\) in \(q\) vzporedni in poišči razdaljo med njima.

a) Najprej sem izpisala obe normali in ju vektorsko pomnožila, da sem dobila \(\overrightarrow{s}\):

\(\overrightarrow{n}_1 = (1,1,2)\)
\(\overrightarrow{n}_2 = (1,-1,0)\)

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{n}_1 \times \overrightarrow{n}_2 = (1,1,2) \times (1,-1,0) = (2,2,-2)\)

Zdaj pa še moram izračunat \(\overrightarrow{r}_0\):

\(x+y+2z = 1\)
\(x-y = 3\)

Pa ju seštejem in dobim \(2x+2z=4\) in od to sledi, da je \(x = 2-z\) in \(y=-z-1\)

Če si izberem \(z=0\), dobim \(x=2\) in \(y=-1\). Torej je moja točka \((2,-1,0)\) in enačba premice v vektorski obliki je \(\overrightarrow{r} = (2,-1,0)+\lambda(2,2,-2)\).

b) \(p: \overrightarrow{r} = (2,-1,0)+\lambda(2,2,-2)\) in \(q: \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{-1}=z-3\) (vektorska oblika: \(\overrightarrow{r}_2 = (2,0,3)+\mu(-1,-1,1)\))

Da sta \(p\) in \(q\) vzporedni, mora biti vektorski produkt njunih smernih vektorjev enak ničelnemu vektorju. Torej:

\(\overrightarrow{s}_p \times \overrightarrow{s}_q = (2,2,-2) \times (-1,-1,1) = (0,0,0)\).

Ker sem res dobila ničelni vektor, sklepam, da sem a) nalogo rešila prav. V bistvu se mi zaplete pri računanju razdalje med tema premicama (ne se mi smejat, vem da je to še iz srednje šole). Šla sem po tej formuli:

\(d(p,q) = d(T_1,q) = \frac{|\overrightarrow{s}_p\times (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}_0)|}{|\overrightarrow{s}_p|}\),

vzela sem za \(\overrightarrow{s}_p=(2,2,-2)\), \(\overrightarrow{r}=(2,-1,0)\) in za \(\overrightarrow{r}_0=(2,0,3)\). Ker nisem prepričana, da sem vzela prave podatke za vstavit v formulo, nisem niti prepričana, da je rezultat prav:

\(d(T_1,q) = \frac{|(2,2,-2)\times ((2,-1,0)-(2,0,3))|}{\sqrt{12}} = \frac{|(2,2,-2)\times(0,-1,-3)|}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{78}}{3}\)

Če to ni prav, a mi lahko prosim namigne kdo, katere podatke moram vzet za \(\overrightarrow{s}, \overrightarrow{r}\) in \(\overrightarrow{r}_0\). Hvala

[Večna študentka]

Narobe sem razdaljo izračunala. Verjetno bi bilo prav, da izračunam pravokotno projekcijo smernega vektorja premice \(p\) na premico \(q\).

Torej, zapišem formulo za pravokotno projekcijo vektorja \(\overrightarrow{s}_p = (2,2,-2)\) na \(\overrightarrow{s}_q=(-1,-1,1)\):

\(\overrightarrow{p}_{\overrightarrow{s}_p} = \frac{\overrightarrow{s}_p \cdot \overrightarrow{s}_q}{|\overrightarrow{s}_q|}\cdot\overrightarrow{s}_q\)

Dobim:

\(\overrightarrow{p}_{\overrightarrow{s}_p} = \frac{(2,2,-2) \cdot (-1,-1,1)}{|(-1,-1,1)|}\cdot(-1,-1,1) = \frac{-6}{\sqrt{3}}\cdot (-1,-1,1) = (\frac{6}{\sqrt{3}},\frac{6}{\sqrt{3}},-\frac{6}{\sqrt{3}})\)

Norma vektorja projekcije je pa kar razdalja med njima, ker sta vzporedna. Zato še:

\(\overrightarrow{p}_{\overrightarrow{s}_p} = d(p,q) = \sqrt{(\frac{6}{\sqrt{3}})^2+(\frac{6}{\sqrt{3}})^2+(-\frac{6}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{36}{3}+\frac{36}{3}+\frac{36}{3}}=\sqrt{36}=6\)

Tole pa mislim, da bo prav b).

[Večna študentka]

Norma vektorja projekcije je pa kar razdalja med njima, ker sta vzporedna. Zato še:

\(\left\|\overrightarrow{p}_{\overrightarrow{s}_p}\right\| = d(p,q) = \sqrt{(\frac{6}{\sqrt{3}})^2+(\frac{6}{\sqrt{3}})^2+(-\frac{6}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{36}{3}+\frac{36}{3}+\frac{36}{3}}=\sqrt{36}=6\)

Tole pa mislim, da bo prav b).

Manjši popravek...

[shrink]

Razdaljo med dvema vzporednicama najlažje poiščeš tako, da na eni izbereš točko in nato določiš razdaljo od te točke do druge premice.

[Luka_AOXD]

Pozdravljeni! Jaz imam problem z dvema nalogama pri vektrojih. Prosil bi za kolikor toliko jasen potek druge naloge in obrazložitev prve.

1.naloga/ Obrazložitev
Ali ležijo točke A(2, -1 ,-2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) in D(5, 0, -6) v eni ravnini?
(to sem rešil, formule sem iz potegnil iz tujih zapiskov ampak nimam pojma, kaj pomenijo, ker nisem nikjer našel te snovi)
Najprej sem z vektorskim produktom izračunal normalo (-6, 2, -4) <--to mi je jasno
Potem sem določil A za T0(2, -1, -2) in T0σ(nevem če je to pravilna oznaka) -0A+0B (3,1,-4) in dobil, da je skalarni produkt n in T0σ enak (-18+2+16) = 0 , kar pomeni da točke ležijo na isti ravnini. Zdej pa jst rabim vedet kaj sm tukaj v tem drugem delu naloge sploh naredil.

2.naloga/ Potek
Izračunaj prostornino paralelepipeda, ki ga napenjajo vektorji a = 3 m + n, b = l + m - 2 n, c = l - n., če so dolžine vektorjev | l | = 1, | m | = 2, | n | = 3, vektorja m in n sta vzajemno pravokotna, vektor l pa oklepa z ravnino, ki jo določata vektorja m in n kot π/4.

Hvala!

[qg]

Luka, volumen paralelepipeda se lahko tudi izračuna s pomočjo determinante matrike 3 x 3. Torej to determinanto lahko uporabiš pri obeh nalogah.