Matrike

[Mafijec]

\(A^{2}X = B^{2}X + A - B\)

Se da to kaj poenostaviti?

[ZdravaPamet]

Z desne mno

[ZdravaPamet]

Nekaj ne dela.
Ne ka

[Mafijec]

Forum ima probleme s sumniki. Besedilo odreze, ko dodaz kak sumnik. Svetujem pisanje brez njih.

Glede naloge:

\((A^2 - B^2)X = A - B\)

Se to sme? Se lahko kaj krajsa?

[ZdravaPamet]

Z desne mnozis z \(X^{-1}\).
\(A^{2}-B^{2}=(A-B)X^{-1}\)
Se z leve z \((A-B)^{-1}\)
\((A-B)^{-1}(A^{2}-B^{2})=X^{-1}\)
Seveda, ce so matrike obrnljive.

Ce \(A\) in \(B\) komutirata (\(AB=BA\)), bi lahko razstavil razliko kvadratov:
\((A-B)^{-1} (A-B)(A+B)=X^{-1}\)
Dobis
\(X=(A+B)^{-1}\)
Premisliti je treba, ce je postopek upravicen - ce so matrike obrnljive, da lahko mnozim z inverzi. Morda je se kaksna matricna aritmeticna operacija, ki je nisem videl.

[Mafijec]

Še nekaj bi vprašal v zvezi z matrikami:


Imamo:

\(A = |\matrix{{1}&{0}&{-3}\cr{0}&{1}&{0}\cr{-3}&{0}&{1}}|\)

Kako se to diagonalizira?

Hvala.

Hm, imam težave s TeXom:

matrika je taka:
1 0 -3
A = 0 1 0
-3 0 1

[shrink]

Matrika A je simetrična z realnimi elementi, zato se jo da diagonalizirati.

Lastne vrednosti so -2, 4 in 1, ki so hkrati diagonalni elementi diagonalizirane matrike.

[Aniviller]

V TeX-u:

Koda: Izberi vse

\left[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 0 \\
-3 & 0 & 1\
end{bmatrix}
\right]

\(\begin{bmatrix}1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
vmatrix ima navpicne crte za oklepaje,
Vmatrix ima dvojne crte za oklepaje,
matrix jih pa nima.

Lahko uporabis tudi kaksen drug environment:

Koda: Izberi vse

\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 0 \\
-3 & 0 & 1\
end{array}
\right]

\(\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1\end{array}\right]\)

[Mafijec]

Ok, zopet vam hvala. Še tole vprašam glede matrik: Obrnljiva pomeni inverzna? Se pravi, matriki A obrnljiva je \(A^{-1}\)? In da je kaka matrika obrnljiva, mora biti njena determinanta različna od 0?

[ZdravaPamet]

Ne čisto. Obrnljiva matrika \(A\) je tista, za katero obstaja matrika \(B\), da je \(AB=BA=I\). Će taka obstaja potem jo imenujemo inverz matrike \(A\). Tako da obrnljiva ne pomeni inverzna. Pomeni, da ima inverz.

[Roman]

Samo v dopolnilo: obrnljiva (inverzibilna) matrika je taka, da jo lahko obrnemo (invertiramo) in z obračanjem dobimo inverz oziroma inverzno matriko.

[Mafijec]

Samo v dopolnilo: obrnljiva (inverzibilna) matrika je taka, da jo lahko obrnemo (invertiramo) in z obračanjem dobimo inverz oziroma inverzno matriko.

Oziroma to pomeni obratna?

Še tole:
\((A^{-1}B)^{-1} = B^{-1}(X^{-1}+B)\)

Lahko prevedemo na?

\((A^{-1}B)^{-1}B = X^{-1}+B\)

Je B v drugem primeru na pravi strani?

[kren]

ce z leve pomnozis pol mora bit B na levi strani, ne na desni: \(B(A^{-1}B)^{-1} = X^{-1} + B\). matrike niso vedno komutativne, samo asociativne (vsak kompozitum preslikav je asociativen)

[ZdravaPamet]

Ne. Paziti moraš na vrstni red množenja. Ni namreč komutativno, razen če matriki komutirata. Ne, B ni na pravi strani. Mora biti množen z leve na levi strani enačbe in na desni, če seveda inverz matrike B sploh obstaja, da lahko pišeš \(BB^{-1}=I\).
\(B(A^{-1}B)^{-1}=X^{-1}+B\)

[ZdravaPamet]

He, prehitel si me.