Matrike
Tnx!
Naj bo A = {{1,1},{1,-1}} in V množica vseh matrik, ki zadoščajo pogoju
det (A+X) = det(A) + det(X).
Dokaži, da je V vektorski prostor in zapiši kakšno njegovo bazo.
Poišči kakšno matriko \(A_{0}\), da lahko vsako matriko X reda 2 x 2 zapišemo v obliki \(X = \alpha A_{0} + X_{0}\), kjer je \(\alpha \is R, X_{0} \is V\).
\(A_{0}\) meni pride {{0,0},{0,1}}?
Naj bo A = {{1,1},{1,-1}} in V množica vseh matrik, ki zadoščajo pogoju
det (A+X) = det(A) + det(X).
Dokaži, da je V vektorski prostor in zapiši kakšno njegovo bazo.
Poišči kakšno matriko \(A_{0}\), da lahko vsako matriko X reda 2 x 2 zapišemo v obliki \(X = \alpha A_{0} + X_{0}\), kjer je \(\alpha \is R, X_{0} \is V\).
\(A_{0}\) meni pride {{0,0},{0,1}}?
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Za tisto, če je vektorski prostor moraš preveriti cirka osem aksiomov upoštevši seveda dani pogoj. To se mi ne ljubi. Drugače pa se vidi, da je matrika X dimenzije 2x2, ker drugače ne moreš izračunati determinante. Če daš matriki X recimo neke štiri elemente, recimo {{a,b},{c,d}} in vstaviš v enačbo, dobiš, da mora biti a+b+c-d=0. Se pravi da so trije parametri nedovisni, tretji je pa odvisen. Od tod recimo vzameš sledečo bazo {{1,0},{0,1}}, {{0,1},{0,1}} in {{0,0},{1,1}}. Mislim, da te tri matrike sestavljajo bazo V-ja.
Dela b pa ne razumem.[/tex]
Dela b pa ne razumem.[/tex]
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Ne preverjaš ali je podprostor, temveč preverjaš ali je vektorski prostor sploh - torej, preveriš štiri aksiome (no, ponavadi so zadosti prvi trije):
- a×(V + U) = a×V + a×U
- (a + b)×V = a×V + b×V
- a×(b×V) = (a×b)×V
- 1×V = V
, kjer so V in U vektorji, a in b skalarji, × je množenje s skalarjem, + je seštevanje.
Ostali štirje so izpeljani, torej niso aksiomi.
- a×(V + U) = a×V + a×U
- (a + b)×V = a×V + b×V
- a×(b×V) = (a×b)×V
- 1×V = V
, kjer so V in U vektorji, a in b skalarji, × je množenje s skalarjem, + je seštevanje.
Ostali štirje so izpeljani, torej niso aksiomi.
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Glede oznak se opravičujem, vendar sem hotel poudariti da gre za množenje.
Glede aksiomov pa si poglej tale kratek pregled Algebre I od prof. Borisa Lavriča - http://www.fmf.uni-lj.si/~lavric/algebra1-pregled.pdf. Tile:
- v * 0 = 0 - v je vektor
- a * 0 = 0 - a je skalar
- a * v = 0, potem je ali a=0 ali v=0 - a skalar, v vektor
- še eden, ki se ga ne spomnem
pa so posledice - se dajo lepo dokazati. Sicer se mi vseh dokazov ne da pisati sem, pa naj bo za prvega (vem, moram se TeX navadit uporabljat ):
v * 0 = v * (0 + 0) = v * 0 + v * 0 => v * 0 = 0 ; namreč iz zadnjega dela en v * 0 nesemo na drugo stran, da se odšteje z onim iz prvega dela. Dokaz za a * 0 = 0 je identičen.
Glede aksiomov pa si poglej tale kratek pregled Algebre I od prof. Borisa Lavriča - http://www.fmf.uni-lj.si/~lavric/algebra1-pregled.pdf. Tile:
- v * 0 = 0 - v je vektor
- a * 0 = 0 - a je skalar
- a * v = 0, potem je ali a=0 ali v=0 - a skalar, v vektor
- še eden, ki se ga ne spomnem
pa so posledice - se dajo lepo dokazati. Sicer se mi vseh dokazov ne da pisati sem, pa naj bo za prvega (vem, moram se TeX navadit uporabljat ):
v * 0 = v * (0 + 0) = v * 0 + v * 0 => v * 0 = 0 ; namreč iz zadnjega dela en v * 0 nesemo na drugo stran, da se odšteje z onim iz prvega dela. Dokaz za a * 0 = 0 je identičen.
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Močno dvomim da nekaj kar privzemaš. Potem "od oka" privzameš še da je v. podprostor in imaš rešeno nalogo Ponavadi se naloge, pri katerih gledaš ali so neki prostori podprostori nekih drugih, glasijo nekako takole; imamo X prostor, dokaži da je prostor Y njegov podprostor.
In itak, kje je razlika pogledat tri aksiome, ali pa pogledati zaprtost za seštevanje, zaprtost za množenje s skalarjem, ter če vsebuje ničelni element?
In itak, kje je razlika pogledat tri aksiome, ali pa pogledati zaprtost za seštevanje, zaprtost za množenje s skalarjem, ter če vsebuje ničelni element?
No, jaz bi od svojih študentov pričakoval tako rešitev, saj morajo vedeti, da so nxm matrike z običajnimi operacijami vektorski prostor. In mislim, da bi jo tudi tebi priznal tvoj asistent - kar vprašaj ga.Mephisto napisal/-a:Močno dvomim da nekaj kar privzemaš. Potem "od oka" privzameš še da je v. podprostor in imaš rešeno nalogo Ponavadi se naloge, pri katerih gledaš ali so neki prostori podprostori nekih drugih, glasijo nekako takole; imamo X prostor, dokaži da je prostor Y njegov podprostor.
In itak, kje je razlika pogledat tri aksiome, ali pa pogledati zaprtost za seštevanje, zaprtost za množenje s skalarjem, ter če vsebuje ničelni element?
Tvojega zadnjega stavka pa ne razumem. Saj to kar si naštel, so ravno trije aksiomi (aditivnost, homogenost in vsebovanje 0).