Kako razloziti koliko je 3-(-1)=?

O matematiki, številih, množicah in računih...
Uporabniški avatar
Marsovec
Prispevkov: 74
Pridružen: 7.6.2006 15:13

Odgovor Napisal/-a Marsovec »

Zakaj so realna števila bolj filozofska od vektorjev?

(Geometrijski) vektorji so definirani geometrijsko kot usmerjene daljice (oz. kot ekvivalenčni razredi takih daljic, ki imajo isto smer in dolžino) in tudi operacije na njih so definirane geometrijsko (npr. seštevanje po paralelogramskem pravilu).

Pravilno definirati, kaj so realna števila in kako z njimi računati, pa je zelo težko. Gre za čisto abstraktno konstrukcijo, ki jo okleščeno slišiš v prvem letniku študija matematike na FMF, a kot bruc običajno ne razumeš, v čem je bistvo. Če poskušaš realna števila definirati kako drugače, npr. kot točke na premici, in z njimi računati "geometrijsko" (podobno kot z vektorji), dobiš ponazoritev, ki je sicer čisto uporabna, a se v njej se zgubijo nekatere bistvene lastnosti, ki ločijo realna števila od celih ali racionalnih.

Kaj je pravzaprav bistvena lastnost, ki množico realnih števil loči od množice racionalnih? Vsaka omejena množica realnih števil ima natančno zgornjo mejo.
Za racionalna števila to ne velja. Množica \(\{x\in Q \mid 1<x<\sqrt 2\}\subset Q\) naprimer nima natančne zgornje meje (v Q), množica
\(\{x\in R \mid 1<x<\sqrt 2\}\subset R\) pa ima natančno zgornjo mejo (v R).

Ta ugotovitev pa se mi zdi precej bolj "filozofska" od seštevanja vektorjev po paralelogramskem pravilu...

Roman
Prispevkov: 6598
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

Razlaga je sicer zanimiva, treba pa je povedati, da je tudi geometrija čisto abstraktna veda, ki jo sicer lahko zelo približno ilustriramo z grafičnimi prijemi, a če smo natančni, geomtrijskih objektov ne moremo narisati. Morda je geometrija ravno zaradi grafičnih približkov lažje predstavljiva, to pa je tudi vse. Geometrija ni nič manj filozofska kot teorija realnih števil.

Katera bistvena lastnost razlikuje množico R od množice Q? Jaz mislim, da predvsem ta, da je R bistveno večja od Q. N, Z in Q so vse enako velike, imajo enako mnogo elementov, so števno neskončne. R pa ima moč kontinuuma.

Ne vem sicer, ali je tvoje omejevanje s korenom iz dva korektno zapisano, res pa je, da je šele množica R zaprta za konvergentna zaporedja iz Q (prosto po Dedekindu).

Uporabniški avatar
Marsovec
Prispevkov: 74
Pridružen: 7.6.2006 15:13

Odgovor Napisal/-a Marsovec »

V bistvu sem se v razpravo vključil, ker sem hotel povdariti, da se mi zdi narobe, da bi se vektorjev otepali kot hudič križa, in da bi se morali učenci z njimi prvič srečati že v osnovni šoli, četudi primer 3-(-1) za to morda ni idealen...

Sicer pa imaš prav, Roman, oboje je zelo filozofsko, če greš v aksiomatski pristop. Vseeno menim, da povprečen otrok laže razume, kako sešteješ dva vektorja po paralelogramskem pravilu, kot pa to, da je \(\sqrt 2\) iracionalno število.

Glede R in Q pa je tisto o njuni moči res pomembna lastnost, vendar ni ključna sestavina definicije realnih števil, ampak je zgolj posledica aksiomov. Bistveni aksiom na poti od Q do R je Dedekindov.

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Odgovor Napisal/-a kren »

Sicer pa imaš prav, Roman, oboje je zelo filozofsko, če greš v aksiomatski pristop.
Js mislim, da je pri tem najbolj filozofsko vprasanje "kaj je filozofsko". Ce to ves potem seveda ni tezko opredeliti matematiko.

Napacno se mi pa zdi, da bi zgolj matematika padla v to kategorijo kar je brzkone zato, ker matematicno razmisljanje ni del vsakdanjika mnogih ljudi in jim je zato bolj tuje. Ce pa je tuje pa se ne pomeni, da je abstraktno (pravzaprav: obratno).

Roman
Prispevkov: 6598
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

Pa tudi če je abstraktno, še ni nujno, da je tudi filozofsko. Ampak uporaba pridevnika "filozofski" je predpostavljala, da smo si za silo edini, kaj pridevnik pomeni. Seveda ni nujno, da je temu tako.

Uporabniški avatar
MAVER|CK
Prispevkov: 880
Pridružen: 27.5.2005 16:34
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a MAVER|CK »

Vceri sm bil odsoten in sm pogruntu zadevo po nacinu tehtnice (enacba).

a-(-b)=x /obema stranema pristejemo +(-b)
a-(-b)+(-b)=x+(-b) /okrajsamo
a=x-b /obema stranema pristejemo +b
a+b=x

Iz tega sledi da je a-(-b)=a+b


Vseeno hvala GJ-ju in Shrinku za se bolj "otrosko" razlago problema. Tocno to sm iskal.

Upam, da ste tudi vi dojeli, da je lahko se nekaj naucit na pamet in tezje nekaj razumeti, se tezje pa toliko znati, da lahko komu to razlozis na tak nacin, da on to razume.

Odgovori