Matematika pomoč!

[mujagic]

sem se matrou 2 ure pa ne gre
pri prvi nalogi sem dobil da je
\(r=\sqrt1\)
\(v=2\)
pa če to potem vstavim v formulo za površino valja dobim da je
\(P=2*\pi\) v podatkih pa piše da je \(P=6*\pi\)

drugo nalogo pa ne znam sm poskušou pa ne gre, a bi lahko kdo resil?

[Aniviller]

Vedno moras spravit enacbe v tako obliko da so odvisne samo od enega parametra ko isces ekstrem.

Rezultat ki ga dobis je pravilen.

\(P=2\pi r h+2\pi r^2\)
\(h=\frac{P}{2\pi r}-r\) (*)

\(V=\pi r^2 h=\frac{P r}{2}-\pi r^3\)
\(\frac{d V}{d r}\equiv 0=\frac{P}{2}-3\pi r^2\)
\(r^2=\frac{P}{6\pi}\)
\(r=1\)

Iz (*) izracunas se h:
\(h=3-1=2\)

Vidis da ploscina mora priti prav, saj ravno iz ploscine dobis vrednost drugega parametra (iz P in r racunas h). Podobno pride, ce izrazas V(h) in isces ekstrem po h, le malo tezje je izrazit.

Druga pa poteka enako:

Naj bojo dimenzije stozca oznacene z velikimi crkami.
Iz prereza sledi da za dimenzije valja velja zveza:
\(\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}\)
\(r=\frac{R}{H} (H-h)\) (**)
To si ze sam ugotovil.

Zapises se volumen:
\(V=\pi r^2 h=\pi \frac{R^2}{H^2} (H^2 h-2Hh^2+h^3)\)
\(\frac{d V}{d h}\equiv 0=\pi \frac{R^2}{H^2}(H^2-4H h+3h^2)\)
\(3h^2-4Hh+H^2=0\)
\(h=\frac{H}{3}\)
Druga resitev, h=H pa je pa minimum (volumen je nic)

spet iz (**) izracunas r
\(r=\frac{R}{H}(2H/3)=\frac{2R}{3}\)
Volumen pride:
\(V=\pi r^2 h= \pi \frac{4 R^2 H}{27}=\pi \frac{8}{27}\approx 0.93\)

[mujagic]

Naredu sm

Aniviller hvala ti za pomoč pri matematiki

LP

[praznoglavec]

Eno vprašanje glede druge naloge: če bi bila točka naprimer (-4,1) to pomeni, da sta

x0=-4 in y(x0)=1???

V tvojem primeru imas podano:
y'(x,y)=3-x-y
Izhodisce {0,0} pomeni da razvijas okrog 0 in je x_0=0 in y(x_0)=0.

Prvi clen:
y(x)=y(x_0)+\ldots=
0+\cdots

E

[Aniviller]

Tako je. Seveda je cela vrsta potem drugacna, ker vsakic ko vstavljas v y'(x,y) vstavljas potem x=-4 in y=1.

[praznoglavec]

torej kolikor razumem to ostane isto





in nato vstavimo vrednost x in y iz podane točke

[Aniviller]

Ne, vse moras izvesti pri x=x0:
\(y=y(x_0)+y'(x_0)x+\cdots\)
Saj to vidis ze po tem, da vstavljas v y'' prave vrednosti x in y.

[praznoglavec]

itak kako sem lahko tako neumen...

[praznoglavec]

ok zgleda da sem še bolj neumen kot sem mislil
...y''=(y')'=f'(x,y)=-1-y'=... mi prosim kdo razloži ta korak? po čem se tukaj odvaja???

[Aniviller]

Vedno se odvaja po x.
y'=f(x,y) je definicija (to je nasa diferencialna enacba).
f(x,y) poznas, vstavis in in se enkrat odvajas:
y''=f'(x,y)=(3-x-y)'=0-x'-y'=-1-y'
y' pa poznamo, zato ga spet lahko vstavimo.

[praznoglavec]

No se mi je zdelo. Samo misledeča naloga ni jasna:

Narisi nivojske krivulje z=0, z=1, z=2 in z=3, kjer je z funkcija spremenljivk x in y, podana z izrazom: f(x)=1-x-y
Priblizno narisi resitev diferencialne enacbe y'=f(x,y), ki gre skozi tocko (-2,0).

in rezultaje podan tak


od kod so dobili 5 premic če imamo samo 4 z-je???

sam dobim rezultat y=y(-2)+3x-2x*x...
no pa kako dobim koliko je y(-2)? kam vstavim x=-2?

[Aniviller]

Hm... tole s stevilom nivojskih krivulj mene ne bi prevec skrbelo, so pac narisali eno vec.

y(-2) imas pa seveda podano! zahtevas namrec da gre stvar skozi tocko (-2,0).

Pa ne se zdej matrat s to taylorjevo vrsto, glede na to da zahtevajo nivojske krivulje najbrz samo hocejo da priblizno potegnes krivuljo skozi (odvode namrec poznas, tako da samo vozis po smernem polju).

Prave resitve pa tudi ni tezko dobiti.
\(y'+y=1-x\)
Homogena resitev (prosim ne vprasaj od kod):
\(y_h=y_0 e^{-x}\)
Za partikularno pa vidis nastavek \(y_p=a+bx\)
\(b+a+bx=1-x\)
torej:
\(y=y_h+y_p=y_0 e^{-x}+2-x\)
Vstavis tocko, da dolocis prosti parameter
\(0=y_0 e^{2}+4\)
\(y_0=-4 e^{-2}\)
\(y=-4 e^{-2-x}+2-x\)

[praznoglavec]

... dobro uno vprašanje o y pri x=-2 je bilo res tarpasto, posledica tega da se mi že meša od vsega skupaj.

Za ta homogeni del (oprosti ker sprašujem) pridem pa toliko daleč:

\(y^\prime+y=1-x\)
\(\int(dy/y)=\int dx\)

do tu pridem...

partikularna:

b+a+bx=1-x ... ta rdeč b nevem od kod pride

[Aniviller]

Homogeni del diferencialne enacbe je tisti del, ki ni odvisen od x (fizikalno leva stran enacbe ponavadi opisuje obnasanje sistema, desni pa zunanje vplive, homogena resitev torej opisuje obnasanje sistema, ce ga pustimo pri miru)
\(y'+y=0\)
\(\frac{\mathrm{d}y}{y}=-\mathrm{d}x\) (pazi minus)
To pa ze znas integrirat (levo logaritem, desno ni nic posebnega, potem izrazis y).
Tovrstne osnovne resitve moras vedet na pamet (ce opazis, ta enacba je ravno lastnost eksponentne funkcije, da je sorazmerna s svojim odvodom).

Pri partikularni resitvi pa nastavek vstavis za y:
\(y=a+bx\)
\(y'=b\)
\(y'+y=b+a+bx=1-x\)
Jasno?

[praznoglavec]

kristalno. Hvala za potrpljenje