Hvala
Kako bi dokazali naslednjo naslednjo limito?
Kako bi dokazali naslednjo naslednjo limito?
Ali mi lahko kdo namigne kako bi dokazal, da je limita n-tega korena števila n ko gre n proti neskončno enaka 1?
Hvala
Hvala
\(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln n} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln n}{n}}.\)
Zaradi zveznosti \(e^x\), lahko pišemo:
\(\lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln n}{n}} = e^{\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}}.\)
Limita v eksponentu je tipa \(\frac{\infty}{\infty}\) in jo lahko uženemo z L'Hospitalom:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1} = 0\).
Sledi rezultat \(e^0\) oz. \(1\).
Zaradi zveznosti \(e^x\), lahko pišemo:
\(\lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln n}{n}} = e^{\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}}.\)
Limita v eksponentu je tipa \(\frac{\infty}{\infty}\) in jo lahko uženemo z L'Hospitalom:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1} = 0\).
Sledi rezultat \(e^0\) oz. \(1\).
