Ena diferencialna enačba

O matematiki, številih, množicah in računih...
Uporabniški avatar
MAC.H
Prispevkov: 65
Pridružen: 13.1.2006 18:19
Kraj: Nova Gorica

Ena diferencialna enačba

Odgovor Napisal/-a MAC.H »

Lahko kdo pomaga pri tej diferencialni enačbi?

\(1 - y = (3y-2)^2.y'^2\)

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Ena diferencialna enačba

Odgovor Napisal/-a qg »

MAC.H napisal/-a:Lahko kdo pomaga pri tej diferencialni enačbi?

\(1 - y = (3y-2)^2.y'^2\)
Najprej obe strani koreniš in y na svojo stran in x na svojo stran.
Dobiš,
(3y-2)(1-y)^(0.5) dy = dx
Ta dva integrala (levo) pa sta verjetno v matematičnem priročniku, če sta trivialno rešljiva.
LPO

Uporabniški avatar
MAC.H
Prispevkov: 65
Pridružen: 13.1.2006 18:19
Kraj: Nova Gorica

Odgovor Napisal/-a MAC.H »

Jaz že dobim \(\frac {3y - 2}{\sqrt{1-y}}dy = dx\), vendar tega ne znam integrirati. Profesorica pa je rekla, da je neka druga finta, ki je jaz ne opazim.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tukaj pa res ni potrebe po finti.
\(\int{\frac{3y-2}{\sqrt{1-y}}}dy=-2y\sqrt{1-y}+C\)
(prijem: \(3y-2=-3(1-y)+1\), \(\frac{3y-2}{\sqrt{1-y}}=-3\sqrt{1-y}+\frac{1}{\sqrt{1-y}}\), ta dva integrala sta elementarna)

Uporabniški avatar
MAC.H
Prispevkov: 65
Pridružen: 13.1.2006 18:19
Kraj: Nova Gorica

Odgovor Napisal/-a MAC.H »

Priznam, da sta integrala elementarna, vendar pa nisem opazil povezave med \(3y - 2\) in \(\sqrt{1 - y}\).

Najlepša hvala.

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Odgovor Napisal/-a qg »

Drugi način:
Napišeš 1-y = x^2 in zato dy= -2xdx in hitro rešiš tudi brez priročnika.

andro
Prispevkov: 2
Pridružen: 7.9.2006 11:16

Kako se reši tale enačbe

Odgovor Napisal/-a andro »

Če zna kdo tole rešit, bi bil zelo vesel

y¨¨+y=cosx*e^x

ta prv ipsilon ima dve črtici.

hvala lepa

lp andro

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Najprej resis homogeni del, ki ima ocitni resitvi:
\(y_1=\cos{x}\)
\(y_2=\sin{x}\)
Nehomogeni del napises v obliki:
\(e^x\cos{x}=Re\{e^{(1+i)x}\}\)
Eksponent ni koren karakteristicne enacbe, zato je partikularna resitev oblike:
\(y_p=Ae^{(1+i)x}\)
Po vstavljanju dobis
\(A(1+i)^2+A=1\)
\(A=\frac{1-2i}{5}\)
Splosna resitev je
\(y=c_1 \cos{x}+c_2 \sin{x}+Re\{\frac{1-2i}{5}e^{(1+i)x}\}\)
\(y=c_1 \cos{x}+c_2 \sin{x}+\frac{1}{5}e^x (\cos{x}+2\sin{x})\)

andro
Prispevkov: 2
Pridružen: 7.9.2006 11:16

Odgovor Napisal/-a andro »

Hvala lepa za rešitev!

lp Andro

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Kako se reši ta diferencialna enačba?
\((y + 2) dx = (2x + y - 4) dy\)

Namig: S primerno substitucijo prevedi enačbo na homogeno diferencialno
enačbo.
Pa še to, kje so diferencialne enačbe sploh obravnavane (knjiga??). Hvala.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14585
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Mafijec napisal/-a:Kako se reši ta diferencialna enačba?
\((y + 2) dx = (2x + y - 4) dy\)

Namig: S primerno substitucijo prevedi enačbo na homogeno diferencialno
enačbo.
Izhajamo iz:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{y+2}{2x+y-4}\).

Imamo torej opravka z dif. en. tipa:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{Ax+By+C}\).

Ker je \(aB \ne bA\), uvedemo:

\(y=u+h \Rightarrow dy=du\),
\(x=v+k \Rightarrow dx=dv\),

pri čemer moramo konstanti \(h\) in \(k\) določiti tako, da dobimo homogeno enačbo. Substitucija nam da:

\(\frac{du}{dv} = \frac{u+h+2}{u+2v+h+2k-4}\).

Homogeno enačbo imamo takrat, ko je vsota prostih členov v števcu in imenovalcu ulomka na desni strani enaka 0:

\(h+2=0\),
\(h+2k-4=0\),

od koder sledi: \(h=-2\) in \(k=3\).

Sedaj imamo:

\(y=u-2\),
\(x=v+3\),

rešiti pa moramo prirejeno homogeno dif. en.:

\(\frac{du}{dv} = \frac{u}{u+2v}\),

ki se je lotimo npr. z nastavkom:

\(u=zv\).
Pa še to, kje so diferencialne enačbe sploh obravnavane (knjiga??). Hvala.
V našem jeziku je standardna knjiga:

F. Križanič: Navadne in parcialne diferencialne enačbe + I. Vidav: Variacijski račun

(ista poglavja so tudi v knjigi Višja matematika 3).

Dobra skripta, ki obravnava dif. en., je tudi:

E. Zakrajšek: Analiza III.

Verjetno bi se v našem jeziku našlo še kaj.

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Hvala!

punk1977
Prispevkov: 9
Pridružen: 13.2.2006 10:52
Kontakt:

Re: Ena diferencialna enačba

Odgovor Napisal/-a punk1977 »

Bi mi lahko kdo rešil naslednje naloge:6,7 na tem naslovu(zaželjeno je čimveč postopka seveda):

http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/san ... ti/3A.html

8 nalogo na tem: (kako smo dobili tidve enačbi?)
http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/san ... i/14A.html

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14585
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Ena diferencialna enačba

Odgovor Napisal/-a shrink »

Poizkusi najprej samostojno kaj rešiti, saj gre za standardne naloge. Nekaj namigov:
punk1977 napisal/-a:Bi mi lahko kdo rešil naslednje naloge:6,7 na tem naslovu(zaželjeno je čimveč postopka seveda):

http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/san ... ti/3A.html
Gre za linearni diferencialni enačbi (1. oz. 2. reda) s konstantnimi koeficienti.

Najprej je treba poiskati rešitev homogene enačbe (desna stran enaka 0): Pri enačbi 2. reda (6. naloga) jo poiščemo preko rešitev karakterističnega polinoma, pri enačbi 1. reda (7. naloga) pa rešujemo enačbo z ločljivima spremenljivkama.

Nato je treba poiskati še partikularno rešitev: bodisi z nastavkom bodisi z metodo variacije konstante.

Splošna rešitev je vsota homogenega in partikularnega dela. Začetni pogoj(i) določajo integracijske konstante.
8 nalogo na tem: (kako smo dobili tidve enačbi?)
http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/san ... i/14A.html
Gre za problem vezanih ekstremov, ki ga rešujemo z Lagrangeovimi multiplikatorji. \(x\) in \(y\) sta vezana preko podane enačbe krivulje, potrebno pa je poiskati minimum funkcije: \(f(x,y) = x^2 + y^2\) (kvadrat razdalje točke \(T(x,y)\) na krivulji od izhodišča).

punk1977
Prispevkov: 9
Pridružen: 13.2.2006 10:52
Kontakt:

Re: Ena diferencialna enačba

Odgovor Napisal/-a punk1977 »

Pri 6. nalogi mi ni jasno kakšen nastavek uporabiti za partikularno rešitev, kajti eˇy nisem zasledil v nobeni rešeni nalogi

Odgovori