Matematika pomoč!

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Videti je, da sem. Se ti pojavi še vedno ta stara enačba?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Enacba je ze nova, ampak nima kosinus povsod plusov?

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Pred obema kosinusoma sta minusa.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Mislim tole:
\(\cos t=\tfrac{1}{2}(e^{it}\underbrace{+}_{!}e^{-it})\)
razen ce sem kje totalno falil.

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Ha! Prej sem narobe popravil!

fox
Prispevkov: 91
Pridružen: 12.5.2008 1:45

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a fox »

Dano je stevilo Z0 = 1/2 − i/2
Kaj lahko poveste o zaporedju (Z0)^n ? Kaj se dogaja, ko gre n -> Infinity?

fox
Prispevkov: 91
Pridružen: 12.5.2008 1:45

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a fox »

pa se eno vprasanje.vem da sem te to vprasal ampak mi nisi odgovoril na drugi del naloge
Funkcija f(x) je vsota potencne vrste Sum[an(x+2)^n,{n=0,\[Infinity]}] s
konvergencnim polmerom R = 4. Ali lahko dolocite funkcijo f(x), ce veste, da velja naslednja zveza
med koeficienti:n*an = a[n−1] za vsak n.


Hvala :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ko prepises v polarno je vse jasno:
\(z_0=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}=2^{-1/2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
Ko potenciras:
\(z_0^n=2^{-n/2}e^{-i\frac{n\pi}{4}}\)
Ko gres proti neskoncnosti gre rezultat proti nic, zato ker je \(z_0\) krajsi od 1 in potenciranje zmanjsuje dolzino. Polarni kot se pa vrti v negativno smer - osemkrat na obrat.

drugi del naloge je bil odgovorjen :)
Aniviller napisal/-a:2. iz izpita:
Razvito je okrog -2 se pravi ima definicijsko obmocje (-6,2). Vrednost f(4) ni definirana, f(0) pa je, ker je znotraj obmocja. Potencne vrste absolutno konvergirajo v svojem obmocju, enako velja za vse njihove odvode. Vrsto odvajas po clenih.
\(f'(x)=\sum n a_n (x+2)^{n-1}\)

iz rekurzijske zveze zvemo, da je splosni clen \(a_n=\frac{a_0}{n!}\), funkcija je torej eksponentna, predfaktor moramo se dolociti z \(a_0\).
Vsak naslednji clen je prejsnji, deljen z n. To je ravno 1/n!

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

\(2x * y'' + (3x - 4) * y' + (4 - 5x) * y = 0\)

Rešitev je \(y = C * e^x\).

Mathematica mi pa ven izpljuni:
\(y[x]\to e^{-5 x/2} x^3 C[1]\) \(\text{HypergeometricU}\left[\frac{6}{7},4,\frac{7 x}{2}\right]+e^{-5 x/2} x^3 C[2] \text{LaguerreL}\left[-\frac{6}{7},3,\frac{7 x}{2}\right]\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Meni pa normalno resitev vrze ven. Lahko da je moja verzija (6) boljsa v poenostavljanju. Ta enacba ima namrec bolj slucajno tako enostavno resitev, zato ker se x lepo pokrajsajo. Mogoce kaksne linearne kombinacije tehle dveh resitev dajo eksponentno funkcijo, mogoce celo FullSimplify to spregleda (oz. so konstante C[1] in C[2] tako postavljene da ne more).

Ah, sem vstavil pa vidim da ne resi enacbe. Nekaj si zasral, kak predznak ali kaksen faktor. Ker gre za poseben primer, je tukaj takoj ce nekaj spremenis potrebno poseci po splosni resitvi, ki je hipergeometricna funkcija (pac ena izmed variant).

Seveda ima enacba se eno resitev, ki jo jaz brez tezav dobim iz Mathematice in ima isti eksponentni predfaktor kot tale packarija.

\(e^{-5x/2}(8+28x+49x^2)\)

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

\(y[x]\to e^x C[1]-\frac{2}{343} e^{-5 x/2} \left(8+28 x+49 x^2\right) C[2]\)

Eeeek, res je, enačbo sem v Mathematico narobe prepisal. Namesto (4 - 5x) sem napisal (5 - 5x).

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

\(\int_{0}^{\pi \over 2} ({ {sin(n * t)}\over {sin(t)}})^2 dt\)

Ok, zaradi simetričnosti prve četrtine kroga glede na naslednje tri se tole da predelati na contour integral * \(1 \over 4\). Kak je pa v primerih, ko pač ni kake simetrije?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Takrat se pac to ne da narest. Lahko pa izberes kaksno drugo krivuljo po kateri integriras. Lahko npr. integriras po zgornjem polkrogu z ravnim delom vred, da je sklenjeno in uporabis residue. Potem odstejes dejanski integral ravnega dela, ki je mogoce lazji od tistega po kroznem loku. Lahko probas s kaksno substitucijo preslikat na kaksno lepse obmocje ali kaj podobnega. Nasploh so cele knjige napisane o kompleksni integraciji in o vseh mogocih zavozljanih krivuljah.
Ali pa dejansko probas zintegrirat v realnem - tako kot bi tudi sicer. Za dolocene integrale obstaja se cela vrsta trikov, lahko so poseben primer kaksnih specialnih funkcij, lahko probas razvit, integrirat in sestet (taylor, fourier ali kaksna druga vrsta).
Integracija je vedno zahtevala malo domisljije :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_o ... ntegration

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

S contour integriranjem se da; vsaj za n = 0, 1, 2 in 3.

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Mafijec napisal/-a:\(2x * y'' + (3x - 4) * y' + (4 - 5x) * y = 0\)

Rešitev je \(y = C * e^x\).
Še postopek naloge:

\(y_{1} = C * e^x\)
\(y_{2} = A * y_{1} * \int { e^{- \int p dx} \over y_{1}^2 } dx\)

\(y_{2} = A * e^x * \int { e^{- \int {3x - 4 \over 2x } dx} \over e^{2x} } dx\)
\(y_{2} = A * e^x * \int {{ e^{- 3x \over 2 } x^2 } \over e^{2x} }} dx\)
\(y_{2} = A * -\frac{2}{343} e^{-5 x/2} \left(8+28 x+49 x^2\right)\)

Odgovori