Matrika linearne preslikave

[Tde]

Pozdravljeni,

imam manjši problem. Če imam linearno preslikavo definirano na polinomu, sem precej zmeden, ko je potrebno zapisati preslikavo z matriko;
Primer.

\(A \ : \ P_{2} ( \mathbb{R} ) \ \rightarrow P_{2} ( \mathbb{R}) \ \textnormal{, kjer je \textit{A} linearna preslikava} \\
(Ap)(t) = (t^{2} + 2t) p''(t) - 2(p(t) + p'(t))\)

Kako bi poiskal matriko preslikave v standardni bazi \(\{ 1,t,t^{2} \}\) ?

Hvala in LP,
Tadej

[Aniviller]

Tvoj polinom (npr. p(x)=at^2+bt+c) se zapise v tej bazi kot vektor {c,b,a}. Torej:
\((Ap)(t)=(t^2+2t)(2a)-2(at^2+bt+2at+b+c)\)
\((Ap)(t)=(2a-2a)t^2+(4a-4a-2b)t+(-2b-2c)\)
\((Ap)(t)=(-2b)t-2(b+c)=\{-2(b+c),-2b,0\}\)
\(A\{c,b,a\}=-2\{b+c,b,0\}\)
Preberes rezultat s primerjavo koeficientov
\(A=-2\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
Vidimo da matrika ni obrnljiva.
Je pa malo storasta baza, jaz bi izbral obratni vrstni red
{1,t,t^2}.

[Marsovec]

Anivillerjeva razlaga je nekoliko nerodna, saj implicitno uporabi izomorfizem prostora polinomov na prostor urejenih trojic...

Raje si zapomni splošno osnovno pravilo: matriko preslikave A (glede na dano začetno in dano končno bazo) dobiš tako, da preslikaš elemente začetne baze in rezultate razviješ po končni bazi - dobljeni koeficienti dajo stolpce iskane matrike.

V tvojem primeru začetna in končna baza vsebujeta polinome \(p_1=1, p_2=t\) in \(p_3=t^2\).
Preslikaš jih z A in rezultate razviješ po tej isti bazi:
\((Ap_1)(t)=(t^2+2t)\cdot 0 - 2(1+0)=-2\),
\((Ap_2)(t)=(t^2+2t)\cdot 0 - 2(t+1)=-2t-2\),
\((Ap_3)(t)=(t^2+2t)\cdot 2 - 2(t^2+2t)=0\).

Tako dobiš matriko \(\left[\begin{matrix}-2&-2&0\\0&-2&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\).

[Aniviller]

Saj to je isto, le da sem uporabil linearnost in vstavil kar \(p=c p_1+b p_2+ a p_3\) in dobil vse tri koeficiente naenkrat.

[Tde]

Super, hvala obema za hitro pomoč. Mogoče mi je drugi način malo bližje, saj smo tako delali tudi na vajah.

Torej, da vidim če razumem;
\(A \ : \ P_{2}( \mathbb{R}) \rightarrow P_{4}( \mathbb{R})\)
\((Ap)(t) = (2t - t^{2}) \cdot p(t)\)


\((Ap_{1})(t) = 1 \Rightarrow 2t - t^{2}\)
\(Ap_{2})(t) = t \Rightarrow 2t^{2} - t^{3}\)
\(Ap_{3})(t) = t^{2} \Rightarrow 2t^{3} - t^{4}\)

Matrika preslikave A je torej:

\(A=\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & -1
\end{array}\right]\)

Imam prav?

[Aniviller]

Mislim da jo moras transponirat, ce hoces z leve mnozit z vektorjem dolzine 3.

[Tde]

Mislim da jo moras transponirat, ce hoces z leve mnozit z vektorjem dolzine 3.

Imaš prav.

Imam pa še eno vprašanje;
Vzemimo nek preprost primer, ker bom tako verjetno najbolj razumljivo povedal.

\(T \ : \ \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \ \ \ \textnormal{ T je linearna preslikava}\)
\(T(x,y) \ = \ (2x+3y , \ x - 2y)\)

Matrika te preslikave je
\(M(T) = \left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 \\
1 & -2
\end{array}\right]\)

Če hočem izračunati kernel, to naredim tako:
\(\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & -2
\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{cc}
x \\
y
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}
0\\
0
\end{array}\right]\)
ter iz tega izluščim, da ima preslikava \(T\) le trivialno jedro, torej \(ker \ T = \{ 0 \}\)

Sedaj želim izračunati še sliko preslikave \(T\):
\(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -2
\end{array}\right] \sim
\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & - \frac{7}{3}
\end{array}\right]\)
Ker sta vrstici med sabo linearno neodvisni, je \(im \ T = \{ 2x+y,\ - \frac{7}{3}y \}\)

Vprašanje;
1.) Ali sem pravilno izračunal sliko?
2.) Zakaj je potrebno matriko preslikave transponirati, ko iščemo sliko?
3.) Kaj nam dejansko pove slika preslikave, razen tega, da je uporabna pri dimenzijski enačbi?

Hvala in LP,
Tadej

[Aniviller]

Najprej je treba vedeti, da sta jedro in slika vektorska podprostora - tvoj izraz za sliko lahko zavzame kakrsnokoli vrednost in je zato kar enak \(\mathbb{R}^2\). To itak vemo ze iz dimenzijske enacbe (ce nima jedra in je kvadratna, potem je bijektivna preslikava in je slika kar cel prostor). Bolj pametno je povedati bazne vektorje slike in kernela.
Drugace pa je sliko lazje najti kar tako, da preslikas cel prostor s preslikavo T in pogledat kaj ostane (kernel ti gre itak v 0 in ne moti). Transponiranje je narobe! (razen ce imajo v mislih "prasliko" (coimage), ki se slika v "sliko"). Transponirana matrika slika v prvi prostor iz drugega, slika je pa po definiciji tisti del drugega prostora, kamor se slika prvi prostor (slika=zaloga vrednosti). S simboli:

Neka razlicna prostora:
\(T: A\to B\)
\(T^T: B\to A\)

Torej: kernel preslikave spada v prvi prostor (A) - isces kaj se preslika v nic.
\(\ker(T)\in A\)
\(T\ker(T)=0\)

Slika pa pripada prostoru (B). (in dovolj je, da preslikas komplement kernela ker kernel itak gre v 0).
\(T A=T \ker(T)^\perp=\mathrm{im}(T)\in B\)

Transponirana matrika tu nima kaj iskati. Je pa res, da veljajo zveze med kerneli in slikami transponirane in navadne matrike, kar ponazarja slika na strani
http://en.wikipedia.org/wiki/Four_fundamental_subspaces


Torej, za tvoj primer

\(M(T)\{x,y\}=\begin{bmatrix}2&3\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2x+3y\\x-2y\end{bmatrix}\)
Ta izraz popisuje cel prostor. Neka dva bazna vektorja dobis, ce enkrat vstavis x=1, y=0, drugic pa obratno. Primer, ko slika ni cel prostor:

\(\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+y\\x+y\end{bmatrix}\)
Tokrat dobis dvakrat isti bazni vektor (1,1). Slika je manjsa od \(\mathbb{R}^2\), vecine vektorjev se ne da doseci s to preslikavo.

upam da nisem prevec zapleteno pojasnil.

[Tde]

Živjo,

spet potrebujem malo pomoči, tokrat gre za Dedekindov aksiom oz. izrek, ki sledi iz njega. Ne vem, ali je moja interpretacija pravilna, zato me prosim popravite, če kaj ni v redu.

Vsaka neprazna navzdol omejena množica realnih števil ima natančno spodnjo mejo.

Vzemimo \(M\) za neprazno, navzdol omejeno množico realnih števil. Če je \(s \in M\) spodnja meja, potem je vsak element \(p \in M\) , za katerega velja \(p < s\) tudi spodnja meja množice \(M\), torej je spodnjih mej nešteto. Množica \(L\) naj vsebuje vse spodnje meje \(M\). Če je npr. \(m_n\) nek element v \(M\), je potem \(L = \{\ldots ,m_{n-2} , m_{n-1} \}\). Ker vidimo, da je \(L\) navzgor omejena, potem ima po Dedekindovem aksiomu natančno zgornjo mejo, npr. \(z\). Ker je \(z\) natančna zgornja meja, noben element iz \(L\) ni večji kot \(z\).

Zgornji opis je povzet po Vidavu, Višja matematika 1, vendar sem ga zapisal tako, kot sem ga sam razumel. Ne razumem pa, kako postavi \(z\) za natančno spodnjo mejo ter dokaže, da je to res. Prosim, za kak hint.

Hvala in LP.

[Aniviller]

Tole se slisi precej zmedeno in nekorektno. Predvsem, ce je s spodnja meja mnozice M, potem ne obstaja \(p<s; p\in M\), saj je ze s manjsi od celega M. Se vec - ce spodnja meja mnozice pripada tej isti mnozici, potem je to natancna spodnja meja te mnozice. To da ima mnozica natancno spodnjo mejo pomeni, da obstaja tako stevilo, da med njim in mnozico ni nobenega dodatnega prostora. Primer - mnozica {1,2,3} ima cel kup spodnjih mej: -1,0,-5,0.5 in se kaj. Natancna spodnja meja je pa 1. Bolj "realen" primer je mnozica stevil oblike \(1/2^n\). Natancna spodnja meja te mnozice je 0. V racionalnih stevilih se ti lahko zgodi, da je natancna spodnja meja zunaj mnozice

Se pravi - spodnje meje niso nujno del mnozice M:
\(\exists s\in \mathbb{R};\quad s\leq M\)
Mnozica spodnjih mej:
\(L=\{s; s\leq M\}\)
Za realna stevila pac velja, da je
\(\limsup L=\liminf M\in \mathbb{R}\)

[Tde]

Živjo,

bom še enkrat poskusil, kljub temu, da si mi že dal odgovor, Aniviller. Tisti konkretni primer, ki si mi ga dal, je razjasnil veliko stvari.

Naj bo \(L\) množica vseh spodnjih mej množice \(M\). Po Dedekindovem aksiomu obstaja v množici \(L\) natančna zgornja meja \(u\). Zanima nas, ali je \(u\) tudi natančna spodnja meja množice \(M\).

Recimo, da \(u\) ni natančna spodnja meja \(M\). Potem obstaja neko število \(a \in M\), za katerega velja \(a < u\). Ker je \(u\) natančna zgornja meja množice \(L\), sledi, da \(a\) leži v množici \(L\). Ker so elementi iz množice \(L\) spodnje meje, nobena ni večja od \(a\), kar nas privede v protislovje, zato je \(u\) res natančna spodnja meja množice \(M\).

Je to bolje?

[Aniviller]

Vsi argumenti so pravilni, sklep je pa napacen. Ce "u" ni natancna spodnja meja M, se ne pomeni da je a<u. Lahko samo ni "natancna", se vedno je pa spodnja meja (ampak je precej nizje dol). Izkljuciti moras predvsem luknjo med mnozicama L in M, to je bistvo Dedekinda. Predvsem je zanimivo, da si na mnozici L uporabil aksiom, ki ga pravzaprav dokazujes. Zdaj, ne vem tocno kaj je cilj - kaj dokazujes. Mogoce bi moral to malo bolj razdelati. Ali pa jaz kaj narobe razumem, v tem primeru naj se oglasi se kdo drug.

[Tde]

Predvsem je zanimivo, da si na mnozici L uporabil aksiom, ki ga pravzaprav dokazujes. Zdaj, ne vem tocno kaj je cilj - kaj dokazujes. Mogoce bi moral to malo bolj razdelati. Ali pa jaz kaj narobe razumem, v tem primeru naj se oglasi se kdo drug.

Se opravičujem za nejasnosti.
Imamo podan Dedekindov aksiom - vsaka navzgor omejena neprazna množica realnih števil ima natančno zgornjo mejo. Z njim hočem dokazati naslednjo trditev:
Vsaka neprazna navzdol omejena množica realnih števil ima natančno spodnjo mejo.

Mi lahko prosim malo bolj točno razložiš, kje sem naredil napako?

EDIT:
Zdi se mi, da sem odkril napako. Ob ugotovitvi, da gre za protislovje sem dejansko pokazal, da ni števila iz M, ki bi bilo manjše od u. In zato od tu sledi, da je u natančna spodnja meja.

Upam, da nisem spet udaril mimo.

[Aniviller]

Mislim da bos na ta nacin samo plesal okrog rezultata ker s tem argumentom ne mores izkljuciti luknje med mnozicama. Stvar je bolj enostavna - uporabit moras ostale aksiome naravnih stevil. Cisto korekten dokaz je:
\(A=\{-x,x\in M\}=-M\)
Mnozica M ima natancno zgornjo mejo. Torej je mnozica A navzdol omejena, njena natancna zgornja meja je pa enaka natancni spodnji meji mnozice M.
To sledi iz tega, da mnozenje z minusom obrne vse relacije.
\(x\leq y\)
\(x+z\leq y+z\quad z=-y-x\)
\(-y\leq -x\)

[Motore]

Živjo,
Jaz bi tudi imel eno vprašanje. Imam preslikavo:
(Ap)(x)= (1-x)p(x)+p'(x)+4∫p(t)dt
integral je v mejah od 0 do x
nekaj moram povedat o injektivnosti in surjektivnosti ter izračunat prasliko polinoma x^3+x-1
Zanima me kako bi to naredil pa tudi kakšna je razlika med sliko in prasliko.

Hvala in Lp