parametrične krivulje

[Aniviller]

Polarna je ze parametricna (s parametrom fi). Se pravi
\(x=r(\phi)\cos \phi\)
\(y=r(\phi)\sin \phi\)

Razumeti moras da je parametricna oblika krivulj najbolj splosna oblika in so vse ostale oblike samo posebni primeri. Recimo eksplicitna oblika y(x) ni nic drugega kot
\(x=t\)
\(y=y(t)\)
Tudi enolicna pretvorba ne more obstajat, ker je neskoncno moznih razlicnih parametrizacij iste krivulje. Recimo zgornjo lahko zapises tudi kot
\(x=t+t^3\)
\(y=y(t+t^3)\)
pa se vedno to pomeni isto krivuljo.

[2xM]

Zdej gledam neko skripto in sem naletel na gradient funkcije - wtf je to? Mam nalogo: napišite gradient funkcije f(x,y)=x*e^(x^2+y^2) in s pomocjo totalnega diferenciala priblizno izracunajte vrednost f(0.1,-0.1).

Aja..mimogrede:
Zapisite prve tri nenicelne clene Taylorjeve vrste funkcije f(x) = 1/(1-x^2) okrog tocke x = 0. Pomagajte si z geometrijsko vrsto: 1=(1 t) = 1 + t + t2 + t3 +...!, določi območje konvergence dobljene vrste in iz Taylorjeve vrste za to funkcijo preberite vrednosti f'(0), f''(0) in f''''(0). - te vrste mi niso kej dosti jasne

[Aniviller]

Gradient je seveda vektor parcialnih odvodov:
\(\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]\)
Oceno pa jasno naredis s Taylorjevo vrsto v dveh dimenzijah (seveda to ni nic drugega kot totalni diferencial ce gledas prvi red)
\(f(\Delta x,\Delta y)\approx f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\Delta y\)

Za tole vrsto je pa cisto enostavno. Vsota geometrijske vrste je
\(\sum q^n=\frac{1}{1-q}\)
V tem primeru je \(q=x^2\), se pravi je vrsta
\(1+x^2+x^4+x^6+\cdots\)
Od tukaj se takoj vidi, da je f'(0)=f'''(0)=0 in f''(0)=2 (skupaj z 2! v imenovalcu dobis 1).

[2xM]

No iskrena hvala za vse odgovore na moja vprašanja - mi je uspelo nardit izpit in s tem pogoj za vpis v naslednji letnik .

[=)]

čestitam.

[Sasom]

Gradient je seveda vektor parcialnih odvodov:
\(\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]\)
Oceno pa jasno naredis s Taylorjevo vrsto v dveh dimenzijah (seveda to ni nic drugega kot totalni diferencial ce gledas prvi red)
\(f(\Delta x,\Delta y)\approx f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\Delta y\)

Za tole vrsto je pa cisto enostavno. Vsota geometrijske vrste je
\(\sum q^n=\frac{1}{1-q}\)
V tem primeru je \(q=x^2\), se pravi je vrsta
\(1+x^2+x^4+x^6+\cdots\)
Od tukaj se takoj vidi, da je f'(0)=f'''(0)=0 in f''(0)=2 (skupaj z 2! v imenovalcu dobis 1).

Zanima me, kako se pride do tega: f'(0)=f'''(0)=0 in f''(0)=2 (verjetno ni treba odvajati funkcije 1/(1-x^2) ali pač)?

[Aniviller]

Ravno odvajanju smo se v celoti izognili s tem, da smo uporabili ze znano geometrijsko vrsto. S tem smo dobili vse koeficiente vrste brez odvajanja, za katere pa vemo, da so oblike \(\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\) (izvrednoteno v tocki, okrog katere razvijas, v tem primeru okrog 0).
Ker lihih clenov ni, so lihi odvodi nic. Za drugi odvod: \(\frac{1}{2!}f''(0)=1\), se pravi f''(0)=2. Odvode pac preberes iz vrste.

Drugace je pa to, da so lihi odvodi nic ocitno iz tega, da je funkcija soda.

[Sasom]

Ravno odvajanju smo se v celoti izognili s tem, da smo uporabili ze znano geometrijsko vrsto. S tem smo dobili vse koeficiente vrste brez odvajanja, za katere pa vemo, da so oblike \(\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\) (izvrednoteno v tocki, okrog katere razvijas, v tem primeru okrog 0).
Ker lihih clenov ni, so lihi odvodi nic. Za drugi odvod: \(\frac{1}{2!}f''(0)=1\), se pravi f''(0)=2. Odvode pac preberes iz vrste.

Drugace je pa to, da so lihi odvodi nic ocitno iz tega, da je funkcija soda.

Ok razumem, samo to mi ni še jasno: za drugi odvod: f''(0)=2 odvode pac preberes iz vrste - ne razumem iz kje jih moram prebrati?

[Aniviller]

Glej: Taylorjeva vrsta je
\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots\)
Mi smo pa ugotovili da je
\(\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6+\cdots\)
Zdaj pa primerjaj in poglej kaksni so odvodi, da se bosta vrsti ujemali. Kdaj bo \(\frac{f''(0)}{2!}x^2=x^2\)?

[Sasom]

Hvala, zdej razumem =).

[Sasom]

Še eno vprašanje imam: iz Tayloerjeve vrste za funkcijo f(x) = Sin[x^2] preberite vrednosti f'(0), f''(0), f'''(0)...
Razvoj je sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -....
Se pravi, ta razvoj ima vse sode odvode 0, se pravi da je f''(0)=0, za f'(0) pride 1 in za f'''(0) pride -1... ali je to pravilno?

[Aniviller]

Ja to je razvoj sinusa. Ti potrebujes \(\sin x^2\), kar ni isto. Pravo vrsto dobis, ce v vrsto za sinus vstavis x^2:
\(\sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\ldots\)

[Sasom]

Se pravi, da je potem f''(0)=2, f'(0) in f'''(0) sta pa 0? četrti in peti odvod isto 0, šesti odvod bi bil pa potem -120?
Pa še zanima me, kako se rešuje tak tip naloge (en bolj osnoven primer):

Koda: Izberi vse

Zapišite diferencialno enacbo, katere splosna resitev je druzina krivulj x^2 +y^2 = ax.
Ali je dobljena diferencialna enacba linearna? Poisci tisto resitev y(x), ki zadosca
pogoju y(2) = 2.

[Aniviller]

Se pravi, da je potem f''(0)=2, f'(0) in f'''(0) sta pa 0? četrti in peti odvod isto 0, šesti odvod bi bil pa potem -120?

Prav.

Koda: Izberi vse

Zapišite diferencialno enacbo, katere splosna resitev je druzina krivulj x^2 +y^2 = ax.
Ali je dobljena diferencialna enacba linearna? Poisci tisto resitev y(x), ki zadosca
pogoju y(2) = 2.

Ce je to druzina krivulj za vsak a, to pomeni, da je bil a integracijska konstanta pri resitvi enacbe. Diferencialno enacbo dobis nazaj z odvajanjem izraza, ki je enacen z integracijsko konstanto (ta se mora izodvajat ven).
\(x+\frac{y^2}{x}=a\)
Odvajamo
\(1+\frac{2yy'}{x}-\frac{y^2}{x^2}=0\)
Enacba ocitno ni linearna.

Pogoju pa zadostis z vstavljanjem v resitev:
\(2^2+2^2=2a\)
\(a=4\)

[Sasom]

Še eno vprašanje (zanima me, če sem dobil pravilne rešitve):

Koda: Izberi vse

diferencialna enačba y'' + 2*y' + y = 1 .
(a) Ali je funkcija y = C_1 * e^-x + C_2 * x * e^-x +1  splošna rešitev te enačbe?
Da.

(b) Določi konstanti C1  in C2 , da bo rešitev zadoščala začetnemu pogoju y(0)=2 in  y'(0)=2.
C1 = 3
C2 = -1