Matrike - enačbe
Matrike - enačbe
Zdravo!
Matrična enačba: AXB=C podane so seveda matrike A, B, C
zdj me pa zanima s katere strani(z leve, desne) moram pomnožiti matriko C z A^-1 in B^-1. In kako pridem do tega odgovora?
Hvala in
Lep Pozdrav!
Matrična enačba: AXB=C podane so seveda matrike A, B, C
zdj me pa zanima s katere strani(z leve, desne) moram pomnožiti matriko C z A^-1 in B^-1. In kako pridem do tega odgovora?
Hvala in
Lep Pozdrav!
Re: Matrike - enačbe
Enostavno: X dobis ven tako, da CELO ENACBO pomnozis z ustreznimi inverzi. Torej, ce hoces, da se AXB spremeni v XB, moras z LEVE mnoziti z A^-1, da se unicita. Za B pa z desne.
\(A^{-1}(AXB=C)\)
\(A^{-1}AXB=A^{-1}C\)
\(XB=A^{-1}C\)
\((XB=A^{-1}C)B^{-1}\)
\(XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\)
\(X=A^{-1}CB^{-1}\)
\(A^{-1}(AXB=C)\)
\(A^{-1}AXB=A^{-1}C\)
\(XB=A^{-1}C\)
\((XB=A^{-1}C)B^{-1}\)
\(XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\)
\(X=A^{-1}CB^{-1}\)
Re: Matrike - enačbe
wow, that was fast! pohvale!!!
da bom na jasnem in da ne bom izgubljal točk po nepotrebnem, sepravi je smer s katere množiš odvisna od prvotne "lokacije": če je prvotno na desni(levi) strani neznanke, je tudi inverz potem na desni(levi) strani?
da bom na jasnem in da ne bom izgubljal točk po nepotrebnem, sepravi je smer s katere množiš odvisna od prvotne "lokacije": če je prvotno na desni(levi) strani neznanke, je tudi inverz potem na desni(levi) strani?
Re: Matrike - enačbe
Tako ja. Vendar moras pazit tudi na vrstni red, ce je vec matrik.
Recimo v tem primeru
\(ABX=C\)
pride rezultat
\(X=B^{-1}A^{-1}C\) (najprej z inverzom A z leve, potem pa se z inverzom B, prav tako z leve).
Najbolje je, da vedno obravnavas tako kot sem zgoraj opisal: mnozenje cele enacbe z ustrezne smeri, s tako matriko, da se necesa znebis. Tako se ne mores zmotit. Ker ce na obeh straneh enacbe izvedes isto operacijo, bo enacaj se vedno drzal - lahko sicer naredis nekoristno operacijo, ne mores pa pokvarit enacbe. Enako se obnese pri vektorskih in skalarnih enacbah (skalarni produkt na obeh straneh, logaritmiranje obeh strani in podobno).
Recimo v tem primeru
\(ABX=C\)
pride rezultat
\(X=B^{-1}A^{-1}C\) (najprej z inverzom A z leve, potem pa se z inverzom B, prav tako z leve).
Najbolje je, da vedno obravnavas tako kot sem zgoraj opisal: mnozenje cele enacbe z ustrezne smeri, s tako matriko, da se necesa znebis. Tako se ne mores zmotit. Ker ce na obeh straneh enacbe izvedes isto operacijo, bo enacaj se vedno drzal - lahko sicer naredis nekoristno operacijo, ne mores pa pokvarit enacbe. Enako se obnese pri vektorskih in skalarnih enacbah (skalarni produkt na obeh straneh, logaritmiranje obeh strani in podobno).
Re: Matrike - enačbe
Hvala lepa, zdj razumm!!!
Re: Matrike - enačbe
Kaj pa pri sledecih primerih:
1.)AX-2X=A+I
a)(A-2I)X=A+I ali b)X(A-2I)=A+I
2.)XA-X=C-XB
XA-X+XB=C
a)(A-I+B)X=C ali b)X(A-I-B)=C,
Namrec v prvem primeru je resevano kot pri a),pri drugem pa kot pri b)...Kako bi vi to naredili?
1.)AX-2X=A+I
a)(A-2I)X=A+I ali b)X(A-2I)=A+I
2.)XA-X=C-XB
XA-X+XB=C
a)(A-I+B)X=C ali b)X(A-I-B)=C,
Namrec v prvem primeru je resevano kot pri a),pri drugem pa kot pri b)...Kako bi vi to naredili?
Re: Matrike - enačbe
Tako je, pri prvi je a) in pri drugi b). To je navadno izpostavljanje. Ce pogledas kaj dobis ce nazaj zmnozis bo hitro jasno - vrstni red matrik se mora ohranjat in ce je bilo mnozeno z leve mora po izpostavljanju biti tudi na levi. To med drugim vodi v to, da je enacba AX+XB=C dokaj tezko resljiva (ne gre z navadnim inverzom ampak je prav poseben postopek - izpostavit se pac ne da).
Re: Matrike - enačbe
AX+XB=C ste napisali je tezko reslijiva... kako bi se sploh lotil resevanje take matricne enacbe?
Re: Matrike - enačbe
Rabis razcep na lastne vrednosti. Najprej moras A in B diagonalizirat (A=PDP^-1, B=RER^-1), pri cemer sta D in E diagonalni. Dobis
PDP^-1X+XRER^-1=C
mnozis z leve s P^-1 in z desne z R.
D(P^-1 X R)+(P^-1 X R)E=(P^-1 C R)
P in R sta znani matriki (dobimo ju iz razcepa), zato lahko desno stran zmnozimo, na levi pa uvedemo novo spremeljivko Y=P^-1 X R.
DY+YE=F
Ta enacba izgleda enako kot prvotna (seveda, vse kar smo naredili je da smo menjali koordinatni sistem). S to razliko da sta D in E diagonalni, torej se da komponente Y-ja dobit z enostavnim deljenjem.
Yij=Fij/(Dii+Ejj)
X potem dobis tako da enacbo s katero smo definirali novo spremeljivko obrnes:
X=PYR^-1.
Torej: diagonalizacija A in B, mnozenje F=P^-1CR, deljenje po komponentah da dobis Y, mnozenje da dobis X.
PDP^-1X+XRER^-1=C
mnozis z leve s P^-1 in z desne z R.
D(P^-1 X R)+(P^-1 X R)E=(P^-1 C R)
P in R sta znani matriki (dobimo ju iz razcepa), zato lahko desno stran zmnozimo, na levi pa uvedemo novo spremeljivko Y=P^-1 X R.
DY+YE=F
Ta enacba izgleda enako kot prvotna (seveda, vse kar smo naredili je da smo menjali koordinatni sistem). S to razliko da sta D in E diagonalni, torej se da komponente Y-ja dobit z enostavnim deljenjem.
Yij=Fij/(Dii+Ejj)
X potem dobis tako da enacbo s katero smo definirali novo spremeljivko obrnes:
X=PYR^-1.
Torej: diagonalizacija A in B, mnozenje F=P^-1CR, deljenje po komponentah da dobis Y, mnozenje da dobis X.
Re: Matrike - enačbe
Prosim za pomoč pri naslednji nalogi:
Preslikava A:R^2 [x]→R^2 [x] je podana s pravilom (Ap)(x)=x*p'(x+1)+p(1).
a)Katera matrika ustreza preslikavi A v bazi {1-x,1+x,x^2+x+1}
b)utemelji, ali je preslikava injektivna
Hvala in lep pozdrav
Preslikava A:R^2 [x]→R^2 [x] je podana s pravilom (Ap)(x)=x*p'(x+1)+p(1).
a)Katera matrika ustreza preslikavi A v bazi {1-x,1+x,x^2+x+1}
b)utemelji, ali je preslikava injektivna
Hvala in lep pozdrav
Re: Matrike - enačbe
a) Transformiraj bazo in rezultat razvij po isti bazi.
\(p_1=1-x\)
\(p_2=1+x\)
\(p_3=x^2+x+1\)
\(Ap_1=x (1-(x+1))'+(1-1)=-x=\frac{1}{2}p_1-\frac{1}{2}p_2\)
uporabil sem, da x lepo pade ven, ce odstejes prva dva bazna polinoma. Tretjega ni notri, ker ima x^2.
\(Ap_2=x (1+(x+1))'+(1+1)=x+2=\frac{1}{2}p_2-\frac{1}{2}p_1+p_1+p_2\)\(=\frac{1}{2}p_1+\frac{3}{2}p_2\)
x vemo, da je polovica razlike prvih dveh. 2 dobis pa, ce sestejes prva dva.
Tretjega lahko dobis na podoben nacin. Koeficienti so kar koeficienti matrike.
Injektivnost je v matricnem zapisu ekvivalentna izjavi, da je rang matrike enak stevilu stolpcev.
\(p_1=1-x\)
\(p_2=1+x\)
\(p_3=x^2+x+1\)
\(Ap_1=x (1-(x+1))'+(1-1)=-x=\frac{1}{2}p_1-\frac{1}{2}p_2\)
uporabil sem, da x lepo pade ven, ce odstejes prva dva bazna polinoma. Tretjega ni notri, ker ima x^2.
\(Ap_2=x (1+(x+1))'+(1+1)=x+2=\frac{1}{2}p_2-\frac{1}{2}p_1+p_1+p_2\)\(=\frac{1}{2}p_1+\frac{3}{2}p_2\)
x vemo, da je polovica razlike prvih dveh. 2 dobis pa, ce sestejes prva dva.
Tretjega lahko dobis na podoben nacin. Koeficienti so kar koeficienti matrike.
Injektivnost je v matricnem zapisu ekvivalentna izjavi, da je rang matrike enak stevilu stolpcev.
Re: Matrike - enačbe
Živjo, prosim za pomoč pri naslednji nalogi.
Dana je preslikava A:R^2->R^2 s predpisom A(x,y)=(-3x-y,x+3y)
a)napiši matriko za A v standardni bazi
b)določite takšno realno število α, da bo v neki bazi B prostora R^2 preslikavi A ustrezala matrika 2X2 (prva vrstica:0 α, druga vrstica:2,0) in poišči kak primer takšne baze.
Hvala za odgovor in lep pozdrav
Dana je preslikava A:R^2->R^2 s predpisom A(x,y)=(-3x-y,x+3y)
a)napiši matriko za A v standardni bazi
b)določite takšno realno število α, da bo v neki bazi B prostora R^2 preslikavi A ustrezala matrika 2X2 (prva vrstica:0 α, druga vrstica:2,0) in poišči kak primer takšne baze.
Hvala za odgovor in lep pozdrav
Re: Matrike - enačbe
1) Lahko gres kot prej, je pa se lazje, ker je v bistvu ze zapisana v obliki ki jo potrebujes, samo prepises stevilke v matriko.
2) Menjava baze ohranja lastne vrednosti preslikave. Samo izracunaj lastne vrednosti matrike A in nastavi alfo, da bosta lastni vrednosti enaki kot prej. Za bazo pa lahko malo razmislis in najdes enostavno resitev, ali gres pa lepo obe matriki zapises v obliki \(A=PDP^{-1}\), \(A'=P'DP'^{-1}\), s cimer dobis preslikavo P iz lastne baze v standardno in P' iz lastne v B. Potem enostavno matricno mnozenje najde bazo B, izrazeno v lastni bazi.
2) Menjava baze ohranja lastne vrednosti preslikave. Samo izracunaj lastne vrednosti matrike A in nastavi alfo, da bosta lastni vrednosti enaki kot prej. Za bazo pa lahko malo razmislis in najdes enostavno resitev, ali gres pa lepo obe matriki zapises v obliki \(A=PDP^{-1}\), \(A'=P'DP'^{-1}\), s cimer dobis preslikavo P iz lastne baze v standardno in P' iz lastne v B. Potem enostavno matricno mnozenje najde bazo B, izrazeno v lastni bazi.