Neki simple racun

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
alexa-lol
Prispevkov: 380
Pridružen: 12.5.2006 19:57

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a alexa-lol » 7.2.2010 20:31

aha tako gre to... če pa je \(B=0\) zaporedje prav tako divergira

zanima me če sem prav naredil nalogo s parcialnim odvodom. Pomisleke imam, ker mi WolframAlpha sicer nariše graf ampak graf ni ravno ustrezen oz. ne vem če je pravilen. Poleg tega se ne da WA napisati naj parcialno odvaja eksplicitno funkcijo.
Poiskati je treba stacionarne točke funkcije \(z(x,y)\)
\(z = x^3 + y^3 - 3xy\)
\(z_x = 3x^2 - 3y\)
\(z_y = 3y^2 -3x\)
Rešitve:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3y^2-3x%3D0,+3x^2-3y%3D0

Skica rešitve
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z%3Dx^3%2By^3-3xy

Je prav?

+ena formalnost
\(x^{(\frac{2}{3})} = \sqrt[3]{x^2}\) drži : ne drži
ker \(\sqrt[3]{(-1)^2} = \sqrt[3]{1} = 1\)
\(-1^{(\frac{2}{3})} = -1\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-1^(2/3)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 7.2.2010 21:11

Ja resitvi sta (0,0) in (1,1) (realni resitvi).

Mislis to (presecisci krivulj sta resitvi kjer sta oba odvoda nic):

Koda: Izberi vse

http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[x^3%2By^3-3xy%2Cx]%3D%3D0%2CD[x^3%2By^3-3xy%2Cy]%3D%3D0
Slika bi bila bolje tako (da se vidita stacionarni tocki):

Koda: Izberi vse

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[x^3%2By^3-3xy%2C{x%2C-1%2C2}%2C{y%2C-1%2C2}]

Glede korena: manjka ti oklepaj!

Koda: Izberi vse

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(-1)^(2/3)

alexa-lol
Prispevkov: 380
Pridružen: 12.5.2006 19:57

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a alexa-lol » 8.2.2010 13:03

aha.. hvala Aniviller, za to kako se računa parcialne odvode na WA..k sem gledu pod examples pa nisem najdu
bom probu rešit nalogo, ki sem jo že postal 2 strani nazaj...
Ekstrem \(z=x^2+(y-1)^2\) v območju \(x^2 + y^2 \leq 2\)
I. način
1. znotraj območja
\(z_x=2x=0\to x=0\)
\(z_y=2(y-1)=2y-2=0 \to y=1\)
\(T(0,1)\) je znotraj območja

2. na robu
\(x^2 + y^2 = 2 \to\) naredim s substitucijo in dobim \(x^2=2-y^2\)
\(z(x,y)=x^2+(y-1)^2 \to z(x,x(y)= 2-y^2+y^2-2y+1\)
\(z=3-2y \to z'=-2 \neq 0\)

3. točke neodvedljivosti
jih nima

II. način - Lagrangeovi multiplikatorji
\(z(x,y)= x^2+(y-1)^2\)
Vez: \(x^2+y^2 - 2 = 0\)
\(F(x,y) = x^2+(y-1)^2 + \lambda(x^2+y^2 - 2)\)

\(F_x=2x + \lambda 2x = 2x(1+\lambda) \to 2x=0 \to x=0, \lambda = -1\)
\(F_y=2(y-1)1 + \lambda 2y = 2y-2 + \lambda 2y\) \(= 2y(-2+ \lambda) \to 2y = 0 \to y=0, \lambda = 2\)

ok očitni rešitvi \(x=y=0\) ne štejeta. Zanima me če je moj sklep pravilen..
Na robu območja ta funkcija nima ekstrema.

Kako v WA pri odvajanju poveš, da je nekaj konstanta
PS. kaj sem dobil z \(\lambda = -1 = 2\)

hvala
lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 8.2.2010 13:43

Na robu cisto narobe resujes. \(\lambda=2=-1\) je nesmiselna izjava. Lagrangeov multiplikator je skupen - ravno zato deluje!

Pri prvem nacinu si naredil tako substitucijo, ki je smiselna le na polovici definicijskega obmocja. Ce izrazas vse z y imas dve veji: tisto na levi in tisto na desni (to vidis iz \(x=\pm\sqrt{2-y^2}\). V tem primeru je slucajno simetricno glede na x tako da vsaj glede tega dobis obe veji hkrati, ampak tocki \(y=\pm 2\) sta na robu obmocja in tam iskanje ekstrema ne more delovat. Da pogledas kaj se tam dogaja, moras najti tako substitucijo, ki je regularna v tisti tocki (recimo izrazanje vsega z x).
Najbolje je pa seveda prevesti v polarne koordinate, ker se pri krogu kar same ponujajo.
\(x=2\cos\phi\)
\(y=2\sin\phi\)
\(z=3-4\sin\phi\)
Tej stvari res ni problem poiskat ekstremov (lahko na pamet, ker za sinus vemo kje ima ekstreme).

Z Lagrangeovimi multiplikatorji pa takole: ti si imel \(2x(1+\lambda)\) Ce je x=0, je lambda lahko karkoli, pa se vedno drzi! Daj se enkrat premisli in poisci vse resitve. Moras pa gledati za resitve, ki resijo obe enacbi hkrati (oziroma vse tri - se vez mora veljat).

alexa-lol
Prispevkov: 380
Pridružen: 12.5.2006 19:57

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a alexa-lol » 8.2.2010 14:22

aha torej po prvi metodi metodi (s polarnimi koordinatami) dobimo \(\phi = \frac{\pi}{2}\), torej je \(x = 0\), \(y = 2\) in \(z = -1\)

Fora tega z Lagrangeovimi multiplikatorji je, da smo vzeli snov v torek pred koncem semestra, vaje naj bi imeli v četrtek, a je bilo 1. semestra konec v sredo tko, da nismo imeli vaj na to temo

lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 8.2.2010 14:26

Aja ups... tisto zgoraj se enkrat preracunaj... jaz sem na hitro pogledal in mislil da imas krog s polmerom 2, pa ni kvadrata tam in je v resnici koren iz dva... tako da resitev je x=0, \(y=\sqrt{2}\). Pri polarni metodi je kot sicer isti ampak tisti predfaktor (polmer kroga) bo drugacen.

Pa spustil si se eno resitev pri \(\phi=-\frac{\pi}{2}\). Splosen namig: na sklenjeni krivulji bo vedno sodo stevilo ekstremov (razen ce je kaksen prevoj - ti stejejo kot "dvojni ekstrem", podobno kot dvojne nicle pri polinomih). Pac, kar gre gor gre tudi nazaj dol, ce hoce priti nazaj na zacetek.

Vidim da imas napako tudi v odvodu po y:
\(F_y=2(y-1)+2\lambda y=2y(1+\lambda)-2\)

Z metodo lagrangeovih multiplikatorjev dobis (n+1) enacb, ce je "n" neodvisnih spremeljivk. V nasem primeru tri enacbe: odvod po x, odvod po y in vez. Iscemo pa x,y,lambda. Resevat moras kot sistem - vse tri enacbe morajo veljati hkrati.

V tvojem primeru poglej, kaj dobis ce das x=0, in kaj dobis ce das lambda=-1. To sta dva locena primera!

alexa-lol
Prispevkov: 380
Pridružen: 12.5.2006 19:57

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a alexa-lol » 8.2.2010 18:25

aha...sem tko rešil in pride prav.. je pa s polarnimi koordinatami veliko lažje
imam problem pri razumevanju vrednosti limite...

\(\lim_{x \to 0^+}xe^{(-\frac{1}{x})}\) (ko \(x\) pada proti 0)
razvijem v Taylorjevo vrsto in dobim..
\(lim_{x \to 0^+}\frac{x}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2!x^2}+\frac{1}{6x^3}+...}\)
izrazim \(x\), da pokrajšam z zgornjim
\(lim_{x \to 0^+}\frac{x}{x*(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2x^3}+...)}\)
in tako dobim obliko
\(lim \frac{1}{\infty}\) to je pa \(0 \neq \infty\)

Koda: Izberi vse

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(x*e^(1/x))+as+x-%3E0
Kje je napaka v razmisleku?

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 8.2.2010 18:32

Mislim, da si pozabil vstaviti en minus pred 1/x

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 8.2.2010 18:52

Pa saj ta limita je 0.... vedno bila! Sploh ni treba limitirat. Kot je rekel Rokerda, minus si pozabil.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 8.2.2010 19:48

Tudi jaz rabim pomoč pri eni nalogi:
Naj bo \(a>0\) poljubno število. Zaporedje \(a_n\) je podano z začetnim členom \(a_1=a\) in rekurzivnim predpisom \(a_{n+1}=\sqrt{2a_n + \frac{9}{a_n}\) za \(n \ge 1\)
a) Razišči konvergento tega zaporedja glede na različne vrednosti a.

b) Ali je vrsta \(\sum_{k=1}^\infty (3-a_n)\) konvergentna?
Za a primer ugotovim, če je \(a>3\) je zaporedje padajoče in konvergira, za \(a<3\) je naraščujoče. Potem vrsta konvergira za vse \(a>0\)?

Kako je pa z b nalogo?

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Jurij » 8.2.2010 21:41

a) če 0<a<3, z indukcijo pokažeš, da je naraščajoče; potem dokažeš, da je navzgor omejeno, npr. s 3; to pa je tudi limita.
primer a=3 je trivialen.
če 3<a, je drugi člen manjši od prvega tid., torej zaporedje najprej pada, dokler enkrat ne pride pod 3, od tam naprej je potem spet prvi primer.

b)
poglej kvocientni kriterij:
\(\frac{3-a_{n+1}}{3-a_n}=\)
\(=\frac{3-\sqrt{2a_n+\frac{9}{a_n}}}{3-a_n}\)
sedaj racionaliziraš, pokrajšaš člen \(3-a_n\) in (če se nisem zmotil) dobiš limito tega kvocienta \(\frac{1}{6}\), torej vrsta konvergira.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 8.2.2010 21:49

Super, hvala ti Jurij

alexa-lol
Prispevkov: 380
Pridružen: 12.5.2006 19:57

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a alexa-lol » 8.2.2010 22:24

Kako je navzgor omejeno s 3 če je pri \(a_n=1\) \(a_{n+1}= \sqrt{11}\) torej \(3.32\), pri \(a_n=2\) pa je \(a_{n+1}=2.92\)

Kaj je narobe tukaj? Ker meni tudi pride limita \(3\)

lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 8.2.2010 22:32

Ne mores omejit s 3 za tiste od spodaj. Lahko pa ugotovis ali narasca ali pada od nekega clena do naslednjega... ze po prvi iteraciji so vsi cleni vecji od necesa tam med 2 in 3 (manjsi ne morejo bit vec). Dovolj je da ti uspe dokazat, da pada ce zacne zgoraj. Ker s tem vsak ki ga vrze od spodaj v zgornji del, bo potem samo se padal do 3.

alexa-lol
Prispevkov: 380
Pridružen: 12.5.2006 19:57

Re: Neki simple racun

Odgovor Napisal/-a alexa-lol » 8.2.2010 22:50

aha ugotovil sme, da za člene \(a_n<3\) funkcija narašča + vemo, da je \(3\) limita + vemo, da je rekurzija definirana (\(\tahbb{R}\)) samo kjer je \(a_n>0\). Torej zdaj samo še pogledamo kaj se zgodi če \(a_n>3\) \(\to\) ugotovimo, da pada. Če je \(a_n = 3\) je pa konstantno.

Je to pravilen odgovor na vprašanje a)?

Rokerda, Jurij, Aniviller kam vi hodite? FMF ? FIZ : MAT

Za Anivillera mislim, da na fiziko...samo ne vem kateri letnik (podiplomskega) :)
hvala
lp
Zadnjič spremenil alexa-lol, dne 8.2.2010 22:51, skupaj popravljeno 1 krat.

Odgovori