Linearna algebra

[p.rok]

Rešujem naloge iz linearne algebre, pa mi neke stvari niso jasne. Spodaj
sem pripel sliko kjer je navedena naloga.
Moje vprašanje je samo zakaj množica (u1,u2,u3) ni baza prostora R^4?

Ce prav razumem naloga sprašuje ali je linearna lupina množice (u1,u2,u3) ogrodje prostora R^4(kaj bi to sploh na bilo?)?
Kako naj pokažem da množica ni baza R^4?

Hvala!

Lp, Rok

[Aniviller]

Ne napenja celega prostora - trije vektorji ne morejo popisat stirih dimenzij, je eden premalo.

[p.rok]

Spet jaz.

Na sliki je naloga in del ki sem rešil sam. Ustavi se ko
moram pokazati ali je U podprostor V, oz celo ali je U enak V.
Kako naj to naredim?

Hvala!

Lp, Rok

[Aniviller]

Ce je prvi prostor podprostor drugega, lahko izrazis vsak polinom iz prve mnozice z drugim:

c+3d+(2c+3d)x+cx^2+dx^3=-b1+3c1+5d1+b1x+c1x^2+d1x^3

Cleni morajo biti po stopnjah enaki. Takoj dobis
d1=d
c1=c
b1=2c+3d
Ostane se
c+3d=-b1+3c1+5d1
v katerega moras vstavit zgornje tri in pogledat ce se izide. Ce je tvoja izpeljava pravilna (nisem preverjal), potem ce se izide, je izrazljivo in je U podprostor V, drugace obstajajo v prvem prostoru polinomi ki jih v drugem ni in torej to ne velja.

[p.rok]

Pozdravljeni!

Kot ponavadi je spodaj navedena naloga, tukaj pa sledi
moje vprašanje:
Ali sem pravilno preveril ogrodje?
Če sem, ali potem naslednje drži: Glede na to da je rešitev sistema smiselna je torej B ogrodje
prostora U in ker je B linearno neodvisen je B tudi baza prostora U.

Hvala,
LP, Rok

[p.rok]

Pozdravjeni!

Teorija pravi da če ima nek prostor V dimenziojo n potem velja:
- vsaka linearno neodvisna množica z n elementi je baza V
- vsako ogrodje V, ki ima natanko n elementov je baza V

Kako je potem možno da dobim da je B lin. neodvisna, krati pa ni ogrodje prostora V?
Nekako mi je jasno da je to možno, ampak je čist kontra z zgoraj povedanim..

Hvala!

[Aniviller]

Ja ni jih dovolj. Primer: en sam neniceln vektor je vedno linearno neodvisna mnozica, ni pa baza prostora dimenzije vec kot 1.

[p.rok]

Zdravo!

Prosil bi za pomoč pri tej nalogi.
Ne vem točno kaj bi tukaj naj bil p(x)?

Hvala!

[Aniviller]

Formalno karkoli, dokler ne poves med katerimi prostori slika. Potem ko povedo bazo, je jasno da mislijo polinome stopnje 2 (potem samo vstavis vse tri bazne vektorje noter in pogledas kaj pride).

[p.rok]

Pri prejšni nalogi sem linearnost znal pokazat, določil sem tudi matriko.
Težave mi še delata slika in jedro.
Ko računam jedro pridem do kvadratene enačbe z dvema parametroma...kaj bi tu bilo sedaj jedro?

Ko mam jedro, a bi lahko sliko določil iz dimV = dim( Ker(A) ) + dim( Im(A) )?
(V je dimenzije 3, torej prostor vseh polinom kvečjemu druge stopnje)

Hvala!

[Aniviller]

Ce hoce biti tisto identicno enako nic, morajo biti koeficienti pred vsako stopnjo enaki nic. Iz tega dobis zveze med parametri. Potem s temi zvezami izrazis kolikor parametrov se da. Parametri ki ostanejo, parametrizirajo jedro (za vsako vrednost preostalih parametrov dobis en polinom iz jedra).

Ce nadaljujem tvoj nastavek:
a=0
6a-2b=0
6a+b-3c=0
Iz prve vstavis v drugo:
-2b=0, torej b=0
Zdaj oboje v tretjo in dobis
c=0.

To pomeni da se v nic slika samo nicelni polinom (a=b=c=0) in noben drug. Jedro je torej trivialno, slika pa zato polna - enaka celemu prostoru ki je na razpolago. Preslikava je ocitno bijektivna.
V primeru da jedro ne bi bilo trivialno, bi ti tista zveza dala samo dimenzijo slike, dolocit bi jo pa se vedno moral na roke.

Mimogrede, ce si ze izracunal matriko bi lahko jedro in sliko dolocil kar iz matrike - Ax=0 ti da vektorje x ki so v jedru (in ce determinanta ni enaka nic je preslikava bijektivna in ni treba nic racunat).

[p.rok]

Lep pozdrav!

Kako naj se lotim te naloge oz. kako naj napišem
preslikavo A v standardni bazi tega prostora?

Hvala!

[Aniviller]

Zapisi prehodno matriko iz standardne baze v novo bazo. Matriki zamenjas bazo z mnozenjem s prehodno matriko z obeh strani (na kateri strani je transponirana pa kar razmisli).

[p.rok]

Hvala, ne vem zakaj jaz nikoli teh stvari ne vidim

Verjetno si misil na kateri strani je invertirana?

[Aniviller]

Ja invertirana... transponiranje je samo ce bi bila ortonormirana.