Integral
Re: Integral
ker vidm da je v prvem postu zginla spodnja slika od alphe, tukaj še enkrat:
Re: Integral
to se da še mal pokrajšat (sj ti alpha tud okrajšano različico izpiše malo nižje), sicer pa lahko na roke preveriš, da se
\(\arcsin x\) in \(2 \arcsin(\sqrt{\frac{1+x}{2}})\) razlikujeta le za konstanto.
\(\arcsin x\) in \(2 \arcsin(\sqrt{\frac{1+x}{2}})\) razlikujeta le za konstanto.
Re: Integral
OK. Zanima me še, ali obstaja pri reševanju integralov kakšno pravilo, trik ali karkoli druzga, da bi hitro vedu, kako je najbolje rešit integral(uvedba nove spremenljivke, per partes... )
Re: Integral
V splosnem samo izkusnje. Lahko se ucis na pamet razlicne oblike integralov in kako se jih resi ampak vedno dobis naslednjega ki ne spada v nobeno izmed tistih grup. Bistvo je, da si ustvaris idejo kaj HOCES dobit ko naredis substitucijo in potem pogledas ce se da. In ce se ne da, si izberes nov cilj. Pomaga to, da prepoznas kaksne simetrije ali druge lepe lastnosti.
Re: Integral
Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?
Re: Integral
Pri n-kratni ničli \((x-a)^n\) imaš \(n\) razcepov na parcialne ulomke z imenovalci: \((x-a), (x-a)^2 \ldots (x-a)^n\).sniper napisal/-a:Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?
Re: Integral
Mogoče še razlaga tega prijema: za nerazcepni kvadratni polinom v imenovalcu verjetno veš, da je nastavek tak da je v števcu polinom prve stopnje:
\(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\)
Tukaj je isto: če daš tvoj nastavek nazaj na skupni imenovalec dobiš
\(\frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-2}\)
Splošno pravilo: števec mora biti stopnjo manjši od imenovalca, da imaš dovolj prostih parametrov.
\(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\)
Tukaj je isto: če daš tvoj nastavek nazaj na skupni imenovalec dobiš
\(\frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-2}\)
Splošno pravilo: števec mora biti stopnjo manjši od imenovalca, da imaš dovolj prostih parametrov.
Re: Integral
Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?
Re: Integral
Rahlo grd integral. Pri integriranju trigonometričnih funkcij je splošna substitucija (če vse drugo prej odpove - kot je že bilo povedano v podobnih temah) tangens polovičnega kota. Tudi v tem primeru bi šlo takoj s to substitucijo, vendar bi producirala racionalno funkcijo s polinomom 4. stopnje v imenovalcu. Zato se je bolje prej znebiti kvadrata sinusa z \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\), kar da:sniper napisal/-a:Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?
\(\int\frac{2\,\mathrm{d}x}{7+3\cos 2x}\).
oz.
\(\int\frac{\mathrm{d}u}{7+3\cos u}\).
Sedaj uporabimo substitucijo s tangensom polovičnega kota:
\(t=\tan\frac{u}{2} \Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}, \cos u=\frac{1-t^2}{1+t^2}\),
kar da (če se nisem kje zmotil):
\(\int\frac{\mathrm{d}t}{5-2t^2}\).
Dobljeno uženemo z razcepom na parcialne ulomke ali prevedemo na integral \(\int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}\), katerega je moč najti v tabeli osnovnih intregralov.
Re: Integral
Živjo.
Meni pa ne gre tale integral:
Naj bi se reševalo z gama, beto funkcijo.
Meni pa ne gre tale integral:
Naj bi se reševalo z gama, beto funkcijo.
Re: Integral
uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.
Re: Integral
ko ni, na koncu, \(\frac{1}{2}\) odveč?Jurij napisal/-a: \(= 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Re: Integral
To, žal ne bo pravilno. Methematica izračuna, da je rezultat \(\frac{3}{8}\).Jurij napisal/-a:uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.
Mi je pa ratalo dobiti pravilen rezutat... juhu!