Integral

[sniper]

Živjo!

Sam sem tale integral izračunal takole:



wolfram alpha pa ga izračuna takole:



Pa me zanima ali sem jest kje zamočil, ali alpha tukaj nekaj zakomplicira ?

[Zajc]

Vse prav. Alpha komplicira.

[sniper]

ker vidm da je v prvem postu zginla spodnja slika od alphe, tukaj še enkrat:

[Jurij]

to se da še mal pokrajšat (sj ti alpha tud okrajšano različico izpiše malo nižje), sicer pa lahko na roke preveriš, da se
\(\arcsin x\) in \(2 \arcsin(\sqrt{\frac{1+x}{2}})\) razlikujeta le za konstanto.

[sniper]

OK. Zanima me še, ali obstaja pri reševanju integralov kakšno pravilo, trik ali karkoli druzga, da bi hitro vedu, kako je najbolje rešit integral(uvedba nove spremenljivke, per partes... )

[Aniviller]

V splosnem samo izkusnje. Lahko se ucis na pamet razlicne oblike integralov in kako se jih resi ampak vedno dobis naslednjega ki ne spada v nobeno izmed tistih grup. Bistvo je, da si ustvaris idejo kaj HOCES dobit ko naredis substitucijo in potem pogledas ce se da. In ce se ne da, si izberes nov cilj. Pomaga to, da prepoznas kaksne simetrije ali druge lepe lastnosti.

[sniper]

Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?

[shrink]

Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?

Pri n-kratni ničli \((x-a)^n\) imaš \(n\) razcepov na parcialne ulomke z imenovalci: \((x-a), (x-a)^2 \ldots (x-a)^n\).

[Aniviller]

Mogoče še razlaga tega prijema: za nerazcepni kvadratni polinom v imenovalcu verjetno veš, da je nastavek tak da je v števcu polinom prve stopnje:
\(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\)
Tukaj je isto: če daš tvoj nastavek nazaj na skupni imenovalec dobiš
\(\frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-2}\)
Splošno pravilo: števec mora biti stopnjo manjši od imenovalca, da imaš dovolj prostih parametrov.

[sniper]

Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?

[shrink]

Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?

Rahlo grd integral. Pri integriranju trigonometričnih funkcij je splošna substitucija (če vse drugo prej odpove - kot je že bilo povedano v podobnih temah) tangens polovičnega kota. Tudi v tem primeru bi šlo takoj s to substitucijo, vendar bi producirala racionalno funkcijo s polinomom 4. stopnje v imenovalcu. Zato se je bolje prej znebiti kvadrata sinusa z \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\), kar da:

\(\int\frac{2\,\mathrm{d}x}{7+3\cos 2x}\).

oz.

\(\int\frac{\mathrm{d}u}{7+3\cos u}\).

Sedaj uporabimo substitucijo s tangensom polovičnega kota:

\(t=\tan\frac{u}{2} \Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}, \cos u=\frac{1-t^2}{1+t^2}\),

kar da (če se nisem kje zmotil):

\(\int\frac{\mathrm{d}t}{5-2t^2}\).

Dobljeno uženemo z razcepom na parcialne ulomke ali prevedemo na integral \(\int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}\), katerega je moč najti v tabeli osnovnih intregralov.

[Tasko]

Živjo.

Meni pa ne gre tale integral:


Naj bi se reševalo z gama, beto funkcijo.

[Jurij]

uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.

[Tasko]

\(= 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)

ko ni, na koncu, \(\frac{1}{2}\) odveč?

[Tasko]

uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.

To, žal ne bo pravilno. Methematica izračuna, da je rezultat \(\frac{3}{8}\).

Mi je pa ratalo dobiti pravilen rezutat... juhu!