Pozdravljeni,
A mi lahko kdo prosim pomaga glede naslednje naloge.
Z uporabo Taylorjeve vrste izračunaj sin((pi/4)+1/8)). Izračunati je potrebno na 4 decimalne
hvala
Taylorjeva vrsta
Re: Taylorjeva vrsta
Ja razvij okrog pi/4. Po definiciji dobis
\(\sin(x+h)=\sin(x)+\cos(x)h-\frac{1}{2!}\sin(x)h^2-\frac{1}{3!}\cos(x)h^3+\cdots\)
in ko vstavis x=pi/4 in h=1/8, samo se sestejes toliko clenov, da naslednji clen ne spreminja vec prvih 4 decimalk.
\(\sin(x+h)=\sin(x)+\cos(x)h-\frac{1}{2!}\sin(x)h^2-\frac{1}{3!}\cos(x)h^3+\cdots\)
in ko vstavis x=pi/4 in h=1/8, samo se sestejes toliko clenov, da naslednji clen ne spreminja vec prvih 4 decimalk.
Re: Taylorjeva vrsta
Razumem. Hvala!!
Samo še to. Kaj pa v primeru da je Sin(pi/4) + 1/8
Samo še to. Kaj pa v primeru da je Sin(pi/4) + 1/8
Re: Taylorjeva vrsta
Ja to je pa navadno sestevanje. Okrog katere tocke bi pa to rad razvil?
Re: Taylorjeva vrsta
No sinus znas razvit... preostali clen je pa konstanta in se samo doda nictemu clenu razvoja.
Re: Taylorjeva vrsta
Sin(x) znam razvit. malo me pa zmede ko je namesto x Pi.
Re: Taylorjeva vrsta
Ja no saj tako sem te razumel, da razvijas \(\sin x+1/8\) in vstavljas pi/4 (ceprav je brez veze ker je sin(pi/4) znan). Zato sem te tudi vprasal kako hoces razvit. Ker sin(pi/4)+1/8 je pac stevilski izraz, ne funkcija. Ce imas za izracunat izraz, kjer bi ti pomagalo da ga posplosis na neko funkcijo, potem seveda lahko to vrsto razvijes in nazaj vstavis. Samo to prav pride samo ce razvijas okrog vrednosti kjer funkcijsko vrednost poznas, tvoja vrednost je pa malo stran od tam in ne rabis veliko clenov. sin(pi/4+1/8) je bilo pametno gledat kot sin(pi/4+x) izracunan v x=1/8 in ga razvit ker je 1/8 majhen, pri pi/4 pa je vrednost kotnih funkcij analiticno znana. Za sin(pi/4)+1/8 pa ni kaj komplicirat, sin(pi/4) poznas, 1/8 pa tudi. Ce pises pa kot sin(pi/4)+x, je pa to ze potencna funkcija in ne pridobis nic novega.
Re: Taylorjeva vrsta
Resnično hvala za pomoč.
Lep pozdrav.
Lep pozdrav.
Re: Taylorjeva vrsta
Bom kar tu vprašal.
Imam funkcijo \(\[f(z)=\frac{1}{z-3} \]\) razviti jo moram v Laurentovo vrsto ki bo konvergentna za A) |z|<3 in B) |z|> 3
Vem da moram poiskati imenovalec oblike 1 - (nekaj) da bom lahko zapisal vrsto kot \(\[ \sum_{n=1}^{n} (nekaj)^n\)
Ampak zakaj pri A izpostavim v imenovalcu -3 pri B pa izpostavim v imenovalcu z ? Oziroma kako to povežem s konvergenco pri A v krogu z radijem 3 in pri B na kolobarju od 3 do neskončno ??
Imam funkcijo \(\[f(z)=\frac{1}{z-3} \]\) razviti jo moram v Laurentovo vrsto ki bo konvergentna za A) |z|<3 in B) |z|> 3
Vem da moram poiskati imenovalec oblike 1 - (nekaj) da bom lahko zapisal vrsto kot \(\[ \sum_{n=1}^{n} (nekaj)^n\)
Ampak zakaj pri A izpostavim v imenovalcu -3 pri B pa izpostavim v imenovalcu z ? Oziroma kako to povežem s konvergenco pri A v krogu z radijem 3 in pri B na kolobarju od 3 do neskončno ??
Re: Taylorjeva vrsta
Pri A torej dobiš:
\(\frac{1}{-3}\frac{1}{1+\frac{z}{-3}}=\frac{1}{-3}\sum_{n=0}^\infty(\frac{z}{3})^n\), ker veš, da velja formula \(\frac{1}{1-k}=\sum_{n=0}^\infty k^n\), ki velja le za \(|k|<1\), ravno zato v B izpostaviš v imen. z. Spet si lahko pomagaš z geometično vrsto in dobiš:
\(f(z)=\frac{1}{z(1-\frac{3}{z})}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty(\frac{3}{z})^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{z^{n+1}}\)
\(\frac{1}{-3}\frac{1}{1+\frac{z}{-3}}=\frac{1}{-3}\sum_{n=0}^\infty(\frac{z}{3})^n\), ker veš, da velja formula \(\frac{1}{1-k}=\sum_{n=0}^\infty k^n\), ki velja le za \(|k|<1\), ravno zato v B izpostaviš v imen. z. Spet si lahko pomagaš z geometično vrsto in dobiš:
\(f(z)=\frac{1}{z(1-\frac{3}{z})}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty(\frac{3}{z})^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{z^{n+1}}\)