Diferencialne enačbe
Re: Diferencialne enačbe
Živijo,
imam problem z reševanjem diferencialne enačbe, natančneje z delom postopka, in bi prosil za kratko razlago.
\(y''+4y'+4y=e^{-2x}lnx\)
Z nastavkom poiščem splošno rešitev homogene enačbe, \(\eta=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)
Nastavek za partikularno rešitev nehomogene enačbe po metodi variacije konstant je: \(\bar{y}=u_1\eta_1+u_2\eta_2\) , kjer sta \(\eta_1=e^{-2x}\) in \(\eta_2=xe^{-2x}.\)
Ponavadi smo \(\bar{y}\) dvakrat odvajali in to vstavili v prvotno nehomogeno enačbo, so se členi odšteli in smo poračunali.
V tem primeru pa imam napisana samo dva pogoja, ki ju ne razumem.
\(u_1'\eta_1+u_2'\eta_2=0\)
\(u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x}lnx\)
Poleg tega smo izračunali še determinanto Wronskega funkcij \(\eta_1\) in \(\eta_2\), ki mora biti različna od 0 (enoličnost rešitve?).
\(\begin{vmatrix}
e^{-2x} & xe^{-2x} \\
-2e^{-2x} & e^{-2x}(1-2x)
\end{vmatrix}\neq0\)
Iz zgornjega sistema enačb dobimo \(u_1'\) in \(u_2'\), naprej mi je vse jasno. Zanima me samo kako smo prišli do tistih dveh enačb. Nalogo je reševal profesor zelo hitro, povedal pa bolj malo, ker se nam vedno mudi. Teoretično nisem podkovan skoraj nič, čeprav sem pregledal pomankljive zapiske.
Prosim, če se komu ljubi. Hvala vnaprej.
imam problem z reševanjem diferencialne enačbe, natančneje z delom postopka, in bi prosil za kratko razlago.
\(y''+4y'+4y=e^{-2x}lnx\)
Z nastavkom poiščem splošno rešitev homogene enačbe, \(\eta=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)
Nastavek za partikularno rešitev nehomogene enačbe po metodi variacije konstant je: \(\bar{y}=u_1\eta_1+u_2\eta_2\) , kjer sta \(\eta_1=e^{-2x}\) in \(\eta_2=xe^{-2x}.\)
Ponavadi smo \(\bar{y}\) dvakrat odvajali in to vstavili v prvotno nehomogeno enačbo, so se členi odšteli in smo poračunali.
V tem primeru pa imam napisana samo dva pogoja, ki ju ne razumem.
\(u_1'\eta_1+u_2'\eta_2=0\)
\(u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x}lnx\)
Poleg tega smo izračunali še determinanto Wronskega funkcij \(\eta_1\) in \(\eta_2\), ki mora biti različna od 0 (enoličnost rešitve?).
\(\begin{vmatrix}
e^{-2x} & xe^{-2x} \\
-2e^{-2x} & e^{-2x}(1-2x)
\end{vmatrix}\neq0\)
Iz zgornjega sistema enačb dobimo \(u_1'\) in \(u_2'\), naprej mi je vse jasno. Zanima me samo kako smo prišli do tistih dveh enačb. Nalogo je reševal profesor zelo hitro, povedal pa bolj malo, ker se nam vedno mudi. Teoretično nisem podkovan skoraj nič, čeprav sem pregledal pomankljive zapiske.
Prosim, če se komu ljubi. Hvala vnaprej.
Re: Diferencialne enačbe
Z odvajanjem nastavka za partikularno rešitev:Naprosyn napisal/-a:Zanima me samo kako smo prišli do tistih dveh enačb.
\(\bar{y}=u_1\eta_1+u_2\eta_2\)
\(\bar{y}'=u_1\eta_1'+u_2\eta_2'+\underbrace{u_1'\eta_1+u_2'\eta_2}_{0}\) (predpostavimo, da sta \(u_1\)in \(u_2\) konstanti - od tod prva zveza)
\(\bar{y}''=u_1\eta_1''+u_2\eta_2''+u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'\) (tu pa predpostavimo, da sta \(u_1\)in \(u_2\) funkciji)
Seveda velja:
\(\eta=u_1\eta_1+u_2\eta_2\)
\(\eta'=u_1\eta_1'+u_2\eta_2'\)
\(\eta''=u_1\eta_1''+u_2\eta_2''\)
Ko partikularno rešitev in njene odvode vstavimo v dif. en., dobimo:
\(\underbrace{\eta''+4\eta'+4\eta}_{0}+u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x} \ln x\) (\(\eta\) je pač rešitev homogene enačbe)
in od tod drugo zvezo:
\(u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x} \ln x\)
Za teoretične osnove glej:Nalogo je reševal profesor zelo hitro, povedal pa bolj malo, ker se nam vedno mudi. Teoretično nisem podkovan skoraj nič, čeprav sem pregledal pomankljive zapiske.
F. Križanič, I. Vidav: Navadne diferencialne enačbe, parcialne diferencialne enačbe, variacijski račun.
-
- Prispevkov: 3
- Pridružen: 2.6.2010 22:42
Re: Diferencialne enačbe
Prva: karakteristicna enacba ti da eksponente, da dobis
\(y=c_1 e^{x}+c_2 e^{3x}\)
Partikularni del pa dobis tako da vstavis nastavek oblike \(Ae^{7x}\) in dolocis A.
Druga: samo trikrat integriras (ne pozabi integracijskih konstant - te dolocis iz zacetnih pogojev).
\(y=c_1 e^{x}+c_2 e^{3x}\)
Partikularni del pa dobis tako da vstavis nastavek oblike \(Ae^{7x}\) in dolocis A.
Druga: samo trikrat integriras (ne pozabi integracijskih konstant - te dolocis iz zacetnih pogojev).
-
- Prispevkov: 3
- Pridružen: 2.6.2010 22:42
Re: Diferencialne enačbe
\(y=c_1 e^{x}+c_2 e^{3x}-e^{7x}\)
\(y'=c_1 e^{x}+3c_2 e^{3x}-7e^{7x}\)
vstavim začetna pogoja, dobim \(c_1=\frac{1}{2}\) in \(c_2=\frac{5}{2}\)
vse to vstavim v enačbo, izračunam za \(x=1\), dobim \(-1045\) (pribl.),
ampak to naj ne bi bilo prav. kje sem naredil napako?
\(y'=c_1 e^{x}+3c_2 e^{3x}-7e^{7x}\)
vstavim začetna pogoja, dobim \(c_1=\frac{1}{2}\) in \(c_2=\frac{5}{2}\)
vse to vstavim v enačbo, izračunam za \(x=1\), dobim \(-1045\) (pribl.),
ampak to naj ne bi bilo prav. kje sem naredil napako?
Re: Diferencialne enačbe
Vstavis x=0 in dobis
c1+c2-1=1
c1+3c2-7=1
Odstejes:
2c2=6
c2=3
Vstavis v prvo:
c1=2-3=-1
Povrsen si.
c1+c2-1=1
c1+3c2-7=1
Odstejes:
2c2=6
c2=3
Vstavis v prvo:
c1=2-3=-1
Povrsen si.
-
- Prispevkov: 3
- Pridružen: 2.6.2010 22:42
Re: Diferencialne enačbe
večkrat sem reševal in zmeraj dobil nekaj drugačnega.
očitno danes ni bil moj dan, glede na to, da mi še reševanje sistema dveh enačb ne gre.
najlepša hvala, ker si si vzel čas!
očitno danes ni bil moj dan, glede na to, da mi še reševanje sistema dveh enačb ne gre.
najlepša hvala, ker si si vzel čas!
Re: Diferencialne enačbe
bi mi lahko nekdo razložil prosim, kako gre pri začetnih pogojih, ki jih vidimo na desni strani priponke
Ni mi jasno kaj vstavim v omego, oz. t ??
samo to, ostalo še nakako kapiram
Ni mi jasno kaj vstavim v omego, oz. t ??
samo to, ostalo še nakako kapiram
- Priponke
-
- IMG.pdf
- nehomogena d.e.
- (729.84 KiB) Prenešeno 296 krat
Re: Diferencialne enačbe
Mene pa zanima kako naj rešim DE:
\((1-x^2)y'=1-y^2\).
V rešitvah pride \(y= \frac{x-C}{1-Cx}\).
Meni sploh noče priti prava rešitev, poskusila sem že skoraj vse.. Obravnavala sem jo kot DE z ločljivimi spremenljivkami, kot Ricattijevo (z dvemi različnimi rešitvami \(x\) in \(\frac{1}{x}\) in prevedbo na LDE ter Bernoullijevo). Ker sem obupala, upam da se bo komu dalo napisati rešitev, PROSIM
\((1-x^2)y'=1-y^2\).
V rešitvah pride \(y= \frac{x-C}{1-Cx}\).
Meni sploh noče priti prava rešitev, poskusila sem že skoraj vse.. Obravnavala sem jo kot DE z ločljivimi spremenljivkami, kot Ricattijevo (z dvemi različnimi rešitvami \(x\) in \(\frac{1}{x}\) in prevedbo na LDE ter Bernoullijevo). Ker sem obupala, upam da se bo komu dalo napisati rešitev, PROSIM
Re: Diferencialne enačbe
Gre z ločevanjem spremenljivk, kar ti da:Kardioida napisal/-a:Mene pa zanima kako naj rešim DE:
\((1-x^2)y'=1-y^2\).
V rešitvah pride \(y= \frac{x-C}{1-Cx}\).
Meni sploh noče priti prava rešitev, poskusila sem že skoraj vse.. Obravnavala sem jo kot DE z ločljivimi spremenljivkami, kot Ricattijevo (z dvemi različnimi rešitvami \(x\) in \(\frac{1}{x}\) in prevedbo na LDE ter Bernoullijevo). Ker sem obupala, upam da se bo komu dalo napisati rešitev, PROSIM
\(\displaystyle\frac{dy}{1-y^2}=\frac{dx}{1-x^2}\).
Integrala sta elementarna:
\(\mathrm{artanh}\, y+D=\mathrm{artanh}\, x\)
oz.
\(\mathrm{artanh}\, x-\mathrm{artanh}\, y=D\)
Če upoštevaš (znana zveza) \(\mathrm{artanh}\, x-\mathrm{artanh}\, y=\mathrm{artanh}\, (\frac{x-y}{1-xy})\) in uvedeš \(D=\mathrm{artanh}\, C\), potem sledi navedena rešitev.
Re: Diferencialne enačbe
1c in 1d, 2(u(x) in u(y) ne gre), 5, 6 vso(sicer sem rešil samo nisem ziher), 7 in 8
Re: Diferencialne enačbe
Kar navedi, do kod si rešil, kje se ti zatika...
Re: Diferencialne enačbe
Problem pri teh DE mi je predvsem v "nastavkih". Torej sploh štartni pogoj, da lahko začnem pisat.
Npr. pri 1c se mi takoj zatakne, sploh ne zaštarta, 1d sem probal preoblikovat v y'+ay=b stil, pa mi neke hude klobase ven pridejo in ne vem če je prav.
Za 2. Mi smo delali samo z nastavkom u(x) in u(y), tadva sem probal in ne gre čez. Drugih nastavkov pa se ne domislim.
5. spet ne vem kako zaštartat
6a) Karak. polinom sem izračunal in dobil +-i* nekaj(ne vem točno), potem pa se mi je zataknilo pri tem
b) šel sem z linearno super pozicijo in pri e^(-3x) sem šel spet s kar. pol. in na koncu mi 0=2(vsi členi na levi in na desno imajo nekaj*e^(-3x), pokrajšam in vsota na levi je 0, na desni pa 2), poleg tega je ničla kar. pol. dvojna in v zapiskih mi piše, da ni pametnega recepta za to reševanje
c)to sem šel na kompleksno reševanje, nastavil trešitev na e^(ix), vstavil karak. pol. dobil ven rešitev +-i, ko vstavim v enačbo se vse pokrajša in dobim 0=1
d) spet dvojna ničla
7,8 brez idej
Problem je, ker na predavanjih smo rešili samo znatno lažje probleme, na vajah pa smo komaj prišli do te snovi
edit: Se pravi, rabil bi bolj namige, kot pa to, da se dejansko kdo spravi do konca računat.
Npr. pri 1c se mi takoj zatakne, sploh ne zaštarta, 1d sem probal preoblikovat v y'+ay=b stil, pa mi neke hude klobase ven pridejo in ne vem če je prav.
Za 2. Mi smo delali samo z nastavkom u(x) in u(y), tadva sem probal in ne gre čez. Drugih nastavkov pa se ne domislim.
5. spet ne vem kako zaštartat
6a) Karak. polinom sem izračunal in dobil +-i* nekaj(ne vem točno), potem pa se mi je zataknilo pri tem
b) šel sem z linearno super pozicijo in pri e^(-3x) sem šel spet s kar. pol. in na koncu mi 0=2(vsi členi na levi in na desno imajo nekaj*e^(-3x), pokrajšam in vsota na levi je 0, na desni pa 2), poleg tega je ničla kar. pol. dvojna in v zapiskih mi piše, da ni pametnega recepta za to reševanje
c)to sem šel na kompleksno reševanje, nastavil trešitev na e^(ix), vstavil karak. pol. dobil ven rešitev +-i, ko vstavim v enačbo se vse pokrajša in dobim 0=1
d) spet dvojna ničla
7,8 brez idej
Problem je, ker na predavanjih smo rešili samo znatno lažje probleme, na vajah pa smo komaj prišli do te snovi
edit: Se pravi, rabil bi bolj namige, kot pa to, da se dejansko kdo spravi do konca računat.
Re: Diferencialne enačbe
1c) to je eksaktna diferencialna enacba. Je oblike
\(\frac{df(x,y)}{dy}y'+\frac{df(x,y)}{dx}=0\)
resitev tega je pa
\(f(x,y)={\rm konst.}\)
Poskusi na isti nacin tudi f). Pri takih grdih se splaca vedno pogledat najprej ce je eksaktna (test z mesanimi odvodi). Ce ni, mogoce lahko celo najdes integracijski multiplikator in jo pretvoris na eksaktno.
2) Poskusi se s produktom u(x)*v(y). Drugace gres v splosnem lahko kar z u(x,y).
5) Poskusi z variacijo konstante, enacba za konstanto je potem nizjega reda (\(y=y_1(x)g(x)\) in potem \(h(x)=g'(x)\) substitucija).
Obstaja tudi izpeljan obrazec kako dobit drugo resitev ce eno ves.
\(\frac{df(x,y)}{dy}y'+\frac{df(x,y)}{dx}=0\)
resitev tega je pa
\(f(x,y)={\rm konst.}\)
Poskusi na isti nacin tudi f). Pri takih grdih se splaca vedno pogledat najprej ce je eksaktna (test z mesanimi odvodi). Ce ni, mogoce lahko celo najdes integracijski multiplikator in jo pretvoris na eksaktno.
2) Poskusi se s produktom u(x)*v(y). Drugace gres v splosnem lahko kar z u(x,y).
5) Poskusi z variacijo konstante, enacba za konstanto je potem nizjega reda (\(y=y_1(x)g(x)\) in potem \(h(x)=g'(x)\) substitucija).
Obstaja tudi izpeljan obrazec kako dobit drugo resitev ce eno ves.