Matematika

[Aniviller]

Uh ravno vidim da sem si z obracanjem vrstnega reda naredil vec skode kot koristi To se zgodi ce prehitro napades s prehudimi topovi in ne vidis ocitne resitve.

Obracanje vrstnega reda vsot seveda ni potrebno ker osnovno vsoto znas direktno sestet:
\(\underbrace{55\ldots5}_m=5\sum_{k=0}^{m-1} 10^k=5\frac{10^m-1}{9}\)
Druga vsota je potem
\(\sum_{m=1}^n5\frac{10^m-1}{9}=\frac{5}{9}(\sum_{m=1}^n 10^m - \sum_{m=1}^n 1)\)
\(=\frac{5}{9}(10\frac{10^{n}-1}{10-1}-n)\)
in na skupni imenovalec
\(=\frac{5}{9^2}(10^{n+1}-9n-10)\)

Ocitno sem pregloboko zabredel in ne vidim stvari, ki so pred nosom...

[Anya]

Hvala...
Še par enostavnih nalog iz kombinatorike, ki jih ne razumem..

1. Anja se preseli v mesto, v katerem noben meščan, prav tako kot Anja, nima rojstnega dne 29.2. prestopnega leta. Najmanj koliko ljudi mora Anja spoznati, da bo verjetnost, da bo vsaj en praznoval rojstni dan na isti dan kot Anja, večja od 0,5?

....Tukaj sploh nwm koliko je vseh možnosti, mogoče \(365^n\) ? pri čemer je n število spoznanih ljudi.

2. Tri točke naključno postavimo na notranjosti stranic kvadrata. Kolikšna je verjetnost, da:
a) vse točke ležijo na eni stranici (tu je ugodna možnost samo ena, ali se stranice kvadrata ločijo?)
b) vsaka točka leži na svoji stranici
c) vse točke ležijo na nasprotnih si stranicah
nwm niti določiti vse možnosti

3. Luka ima pet palic, katerih dolžine so 38cm, 49cm, 70cm, 88cm, 107cm, Kolikšna je verjetnost, da lahko iz treh naključno izbranih palic sestavi trikotnik?
Torej za trikotnik velja trikotniško pravilo, vendar mi pride premalo neugodnih možnosti...

[Aniviller]

1. To je eden izmed klasicnih problemov kombinatorike, lahko podrobno preberes drugje: http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

2. Samo poindeksiraj jih. To je isto kot metanje tock v 4 predalcke (vsaka tocka je lahko stevilo od 1-4). Imas torej vseh moznosti 4^3, od katerih so 4 moznosti, da vse tri lezijo na isti stranici (kombinacije 111,222,333,444). Da vsaka lezi na svoji stranici pomeni, da imas 3 razlicne stevilke med 1-4 (variacije). Za nasprotne stranice ti razpade na dve moznosti: lihe in sode....

3. Tukaj imas kombinacije... jih je samo 10, tako da jih lahko rocno pregledas.

[apovsic]

Pokaži, da je množica vseh hermitskih 2 × 2 matrik s sledjo 0 trirazsežen
vektorski prostor nad R, katerega bazo tvorijo Paulijeve spinske matrike [0, 1, 1,0], [0, -i, i, 0] in [1,0,0,-1] (torej [a11, a12, a21, a22])?

Torej matrika A ima obliko [a,b,c,-a], zapisal sem po bazi torej

A = c1 *[0,1,1,0] + ...

in spravil v eno matriko potem mi je pa zmanjkalo idej.

[Aniviller]

Ena varianta je, da hermitsko matriko razbijes na imaginarni in realni del, kjer je realni del simetricen brezsledni del, ki je ocitno 2D - [a,b,b,-a], in imaginarni del, ki je antisimetricen (in ima torej itak nicle po diagonali), se pravi [0,c,-c,0].

[finpol1]

Potreboval bi pomoč pri obkroženih nalogah. Če se komu da naj napiše cel postopek, če pa mi kaj še vedno ne bo jasno bom pa vprašal

NAJLEPŠA HVALA

[Aniviller]

3) Razbij oba sinusa po adicijskem izreku, zmnozi in prepoznaj formulo za dvojni kot.
5) Ena moznost je, da faktoriziras po formuli za faktorizacijo in potem poskusis najti pot naprej. Ena moznost je 105=180-75 in potem adicijski izrek in imas vse na 75 preracunano, kar lahko potem poskusis razbit na 60+15, 15 pa je polovicni kot od 30, za katerega ves rezultat.
6) podobno - 24 je na pol poti med 12 in 16, faktorizacijska formula na prvih dveh clenih bo dala podobno stvar (zaradi clena ki vsebuje povprecje).
7) a) izpostavi 2, pretvori sqrt(3)/2 na neko kotno funkcijo in faktoriziraj. b) podobno. c,d: uporabi cos^2 + sin^2 = 1.

Toliko zaenkrat, ce bodo se problemi, pa lahko naprej diskutirava.

[finpol1]

ta naloga bi me zanimala...rezultata sta dva prvega sem še nekako dobil, zanima pa me od kod dobim drugega (torej tistega ki sem ga označil z zvezdico), ki je tudi napisan v rešitvah...

[Aniviller]

Tam kjer delis s \(\cos^2\frac{x}{2}\) nisi uposteval primera, ko je ta izraz nic. V tistem primeru je enacba ze itak izpolnjena. Druga zbirka resitev je torej tista, ki zadosti \(\cos\frac{x}{2}=0\).

[finpol1]

Tam kjer delis s \(\cos^2\frac{x}{2}\) nisi uposteval primera, ko je ta izraz nic. V tistem primeru je enacba ze itak izpolnjena. Druga zbirka resitev je torej tista, ki zadosti \(\cos\frac{x}{2}=0\).

torej vedno ko je na drugi strani 0?

[Aniviller]

\(\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=0\) // izpostavis
\((\cos^2\frac{x}{2})(\tan\frac{x}{2}-1)=0\)
Da enacba velja, mora biti vsaj en oklepaj enak 0. Prvi je nic, ko je
\(\cos\frac{x}{2}=0\),
se pravi
\(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
\(x=\pi+2k\pi\)
drugi je 0, ko je
\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
kot si sam ugotovil.

[finpol1]

ok...približno razumem
zdaj pa še tale 3. naloga ki je bila tam obkrožena..začel sem jo zdaj pa ne vem kako nadaljevati

hvala

[Aniviller]

Kot prvo, \(\cos\frac{\pi}{2}=0\). Pa v drugi vrstici imas en minus odvec, drugace bi ti ze v tretji vrstici prisla enakost.

[finpol1]

Kot prvo, \(\cos\frac{\pi}{2}=0\). Pa v drugi vrstici imas en minus odvec, drugace bi ti ze v tretji vrstici prisla enakost.

kater minus v je odveč formula je namreč http://draw.to/D3OimAz če se ne motim

[Aniviller]

Takole gre:
\(\sin\alpha\sin\beta=\frac12(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))\)