Matematika

[Aniviller]

Nacinov je vec, jaz bi sel s prehodom na tako bazo, da lahko izkoristis cim vec podatkov. Naj bo x=a+3b in y=a+4b. Iz tega potem nazaj izrazis
b=y-x
a=4x-3y
Podano je, da je ploscina paralelograma na a in b enaka 1, torej pogledava:
\(a\times b=(4x-3y)\times(y-x)=4x\times y+3 y\times x=x\times y\)
Po podatku je absolutna vrednost leve strani 1, na desni imas pa vektorski produkt dveh pravokotnih vektorjev enake dolzine, iz cesar ugotovis, da sta dolzini vektorjev x in y kar 1.

Druga zveza, ki jo imas, je tista s trojnim vektorskim produktom, ki ga pa lahko razpises po znanih formulah. Ce formule za to zival nimas pri roki, lahko en clen zacasno razglasis za nek splosen vektor, uporabis formulo za dvojni vektorski produkt in potem nadaljujes:
\((a\times b)\times\underbrace{(a\times c)}_{d}=(a\times b)\times d=b(ad)-a(bd)\)
\(=b(a(a\times c))-a(b(a\times c))=a (a,b,c)\)
To je zaenkrat se vektor. Ko vzames absolutno vrednost, je leva stran (tisti trojni vektorski produkt) po podatkih enak 10, desna stran pa:
\(10=|a|(a,b,c)\)
Podatek, po katerem te sprasujejo, dobis kot
\((a,b,c)=\frac{10}{|a|}\)
Ampak ker je a=4x-3y in sta x in y pravokotna vektorja dolzine 1, je velikost a kar \(|a|=\sqrt{4^2+3^2}=5\), rezultat je torej 2.

[andreja995]

Prosila bi, če mi lahko pomagate pri naslednjih primerih; naloga pravi faktoriziraj izraz:
1. cos(a-b)-sin(a+b); rešitev je 2sin(45-a)sin(45-b)
2.(sin(3a-b)-sin(3b-a))/(cos2a+cos2b); rešitev je 2sin(a-b)
3. 1+sinx+cosx+tanx

Prosila bi za postopke reševanja.

Hvala.

[Aniviller]

1. En clen pretvoris (sinus v kosinus ali obratno, recimo \(\cos (a+b)=\sin(\pi/2-(a+b))\)) in uporabis obstojece formule.
2. Tukaj samo uporabis faktorizacijske formule in pokrajsas:
Stevec:
\(\sin(3a-b)-\sin(3b-a)=2\sin\frac{(3a-b)-(3b-a)}{2}\cos\frac{(3a-b)+(3b-a)}{2}\)
\(=2\sin 2(a-b)\cos (a+b)\)
Imenovalec:
\(\cos 2a+\cos 2b=2\cos(a+b)\cos(a-b)\)
Sestavis skupaj:
\(\frac{2\sin 2(a-b)\cos(a+b)}{2\cos (a+b)\cos(a-b)}=\frac{\sin 2(a-b)}{\cos (a-b)}=\)
\(\frac{2\sin (a-b)\cos(a-b)}{\cos(a-b)}=2\sin (a-b)\)
3. Odlocit se moras kako grupirat. Recimo da das kar na skupni imenovalec:
\(\frac{\cos x + \sin x + \cos x (\sin x + \cos x)}{\cos x}\)
\(=\frac{(1+\cos x)(\sin x + \cos x)}{\cos x}\)
Zdaj lahko uporabis obstojece formule. Prvi clen lahko uzenes na dva nacina: ali pises 1=cos(0) in uporabis faktorizacijo, ali pa prepoznas formulo za polovicni kot, v vsakem primeru pride kar \(2\cos^2 \frac{x}{2}\). Drugi clen pa spet \(\sin x=\cos (\pi/2-x)\) in po znanem postopku naprej.
\(\frac{2\cos^2 \frac{x}{2}\cdot 2 \cos\frac{\pi}{4}\cos(x-\frac{\pi}{4})}{\cos x}\)
\(=2\sqrt 2\frac{\cos^2 \frac{x}{2} \cos (x-\pi/4)}{\cos x}\)

[MATZAPISKI.SI]

Pomagaš si lahko z zapiski na strani http://matzapiski.si

[andreja995]

Prosila bi, če mi lahko pomagate rešiti naslednji primer:
(sin2x + sinx)/(sinx+sin60); rešitev je 2cot(x/2+30)sinx

[Aniviller]

Faktoriziraj. Zgoraj lahko kar izpostavis:
\(\sin 2x+\sin x=2\sin x \cos x + \sin x=\sin x (2\cos x +1)\)
Spodaj pa po formuli:
\(\sin x + \sin 60^\circ =2 \sin (\frac{x}{2}+30^\circ)\cos (\frac{x}{2}-30^\circ)\)
Oklepaj v stevcu se ni faktoriziran... ce dvojko izpostavis, lahko pises:
\(2\cos x + 1 =2(\cos x+\cos 60^\circ)=4\cos (\frac{x}{2}+30^\circ)\cos(\frac{x}{2}-30^\circ)\)
Potem samo okrajsas.

Ce gres takoj po faktorizacijskih formulah napast stevec, prides do nekoliko manj poenostavljenega rezultata... ki je v principu tudi pravilen. Naloga ocitno predpostavlja, da bo razstavljanje dvojnih kotov dovolj vabljivo, da te pritegne na to pot resevanja.

Kaj smo uporabili?
* ce imas vsoto kotnih funkcij in skalarnih faktorjev, lahko vseeno faktoriziras, ce skalarje pises kot kotne funkcije znanih kotov.
* faktoriziras lahko po normalnih formulah samo, ce sta kotni funkciji v obeh clenih brez predfaktorja. Zato smo izpostavili dvojko, ker rabimo cos+cos, sin+sin (ali z drugacnimi predznaki).

Spomni se se na preostali trik, ce imas cos+sin, lahko uporabis cos(x)=sin(90-x). Tega tukaj nismo rabili ampak tudi pomaga na splosno.

[andreja995]

Najlepša hvala.

Prosila bi vas, če mi lahko pomagate še pri naslednjih dveh primerih:
1. cos3x + cos2x+ cosx; rešitev je 4(cos2x)(cos(x/2 + 30)(cos x/2 -30), ne vem kako naj dobim teh 30 stopinj v rezultat

2. cos[*2](a-b)-sin[*2](a-b); rešitev je cos(2(a-b))

Hvala.

[shrink]

1. Ja, nekje bo treba uporabiti Anivillerjevo izpeljavo \(2\cos x + 1 =2(\cos x+\cos 60^\circ)=4\cos (\frac{x}{2}+30^\circ)\cos(\frac{x}{2}-30^\circ)\).

Torej:

\(\cos 3x+\cos 2x+\cos x=\cos 2x \cos x-\underbrace{\sin 2x \sin x}_{2\sin^2 x \cos x}+\cos 2x+\cos x\)

Sedaj je treba izpostaviti \(\cos 2x\) in \(\cos x\), kot sledi:

\(\cos 2x(1+\cos x)+\cos x(1-2\sin^2 x)\)

V drugem oklepaju je treba prepoznati \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1- \sin^2 x - \sin^2 x =1-2\sin^2 x\), kar da:

\(\cos 2x(1+2\cos x)\)

V oklepaju uporabiš Anivillerjevo faktorizacijo, ki seveda vodi do končnega rezultata.

2. Enostavno uporabiš:

\(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\)

[skrat]

\(\int xsin\sqrt{x}dx=??\)

Navodila pravijo, da naj uporabim per partes, dobro, naj bo
\(u=sin\sqrt{x}dx\) in \(dv=xdx\)
torej je \(du=\frac{cos\sqrt{x}dx}{2\sqrt{x}}\) in \(v=\frac{x^{^{2}}}{2}\)

\(\int xsin\sqrt{x}dx=\frac{x^{2}sin\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{4}\int \frac{x^{2}cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx\)

Kaj zdej? Uvedem novo spremenljivko za drugi integral, recimo \(t=\sqrt{x}\), pride nekaj takega:
\(\frac{1}{2}\int{t^{4}costdt\)
No ta korak z uvedbo nove spremenlojivke je najbrž napačn kr tole mi ne zgleda nič pametno... Kako torej?

[Aniviller]

Ce gres z t=sqrt(x), to lahko naredis ze takoj na zacetku, ti per partes ni nic pomagal pri tem. Lahko pa na rezultatu izvajas per partes in zbijes potenco dokler ne prides do konca. Torej, po tem postopku:
\(t=\sqrt{x}\)
\(dt=\frac{1}{2}\frac{dx}{t}\)

\(\int x \sin \sqrt{x}{\,\rm d}x=\)
\(=2\int t^3 \sin t{\,\rm d}t\)
Kot vidis si svoj per partes uporabil v napacno smer in zvisal potenco t-ja namesto obratno Zdaj gres lahko pocasi
u=t^3, dv= sin(t)dt
du=3t^2 dt, v=-cos(t)
\(=-2t^3\cos t+2\int 3t^2\cos t {\,\rm d}t\)
In zdaj seveda na drugem integralu se enkrat:
\(\int t^2 \cos t {\,\rm d} t=t^2 \sin t -\int 2t \sin t {\,\rm d}t\)
In se zadnjic, da dokoncno izginejo potence t-ja in lahko integriras normalno.

[Aniviller]

p.s. srečno 3*11*61

[Driver]

Prosim za pomoč, imam majhen problem z korenjenjem imaginarnega števila v izrazu: (4i+3+sqrt(8i-15))/4. Kako poračunam tole oz. kako se znebim korena v izrazu? Hvala za odgovor

[Aniviller]

Vse korenjenje je trivialno, ko gres v polarno (eksponentno) obliko. Notranji koren:

\(-15+8i=re^{i\phi}\)
\(r=\sqrt{15^2+8^2}=17\)
\(\phi=\arctan \frac{8}{-15}\) pri cemer pazis, da je v drugem kvadrantu.
Potem korenis kot
\(\sqrt{\ldots}=\sqrt{7}e^{i{\phi+2k\pi}/2}\)
Ceprav izgleda grdo, se preko Eulerjeve identitete se vedno da dobit (ponavadi grde) analizicne izrazave funkcij polovicnih kotov - recimo \(\cos\frac{\phi}{2}\) lahko izrazis kot funkcijo \(\tan \phi\), ki je v tvojem primeru -8/15. Primer:
\(\cos\frac{\phi}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\phi}{2}}=\sqrt\frac{1+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}}{2}}\).
Seveda moras pri vsakem korenjenju pazit na predznak glede na to v katerem kvadrantu si.

Lahko gres pa z nastavkom
\(-15+8i=(a+bi)^2\)
\(a^2-b^2=-15\)
\(2ab=-240\)
In poskusas razresit a in b. Tukaj se izognes kotnih funkcij na racun dokaj grdih dvojnih kvadratnih enacb.

Ko pretvoris notranjega v a+bi, se lahko lotis zunanjega korena na enak nacin.

V tem primeru priporocam drugo varianto - vse se bo lepo izslo.

[andreja995]

Prosila bi za pomoč pri naslednjem primeru:

cos(2x+3π), če je cotx=-2/5 in je kot v IV. kvadrantu.

Rešitev je 21/29.

Sama sem primer že večkrat preračunala, a ne dobim pravega rezultata. Ker je sin3π=0, potem ko izračunam cosx, dobim za rezultat 2√29/29

[Aniviller]

\(\cos(2 x+3\pi)=\cos(2x+\pi)=-\cos 2x=\sin^2 x-\cos^2 x=2\sin^2 x -1\)
Uporabis se \(\frac{1}{\sin^2 x}=1+{\rm cot^2\,} x\)
in dobis
\(=\frac{2}{1+\cot^2 x}-1=\frac{2}{29/25}-1=\frac{21}{29}\)
Seveda to ni edina pot. Izberes si pac nek nacin, ki se ti zdi da lahko vse kotne funkcije pripelje do kotangensa. Jaz sem sel pac najprej vse na sinus in potem direktno na kotangens. Lahko gres tudi kako drugace.