Verižni ulomki

[delta]

Npr., da želimo napisati \(\sqrt{7}\) v obliki verižnega ulomka. Rešitev je: \(\sqrt{7}=\[2;1,1,1,4\]\), kjer se zadnja štiri števila periodično ponavljajo. S pomočjo Evklidovega algoritma dobimo 2,1,1,1,4.
To dobimo tako: \(\sqrt{7}=1* 2+(\sqrt{7}-2)\)
\(1=(\sqrt{7}-2)*1+(3-\sqrt{7})\), poiskali smo prvi dve: 2,1. Naprej podobno. Zanima me, kako vemo, kdaj smo našli periodo. V tem primeru je 1,1,1,4. Lahko izračunamo še naslednje število in je 1, vendar, kako se prepričamo, da je perioda takšna?

Lepo prosim za čim hitrejšo pomoč

[Aniviller]

Ce je ostanek po 5. clenu popolnoma enak ostanku po 1. clenu (pac 4 nazaj), potem bo vse naprej avtomatsko isto.

[delta]

Aha, razumem v čem je finta. Samo ne vidim, kaj je isto. Če poračunam naprej od 3. člena dobim:
\((-2+\sqrt{7})=(3-\sqrt{7})*1+(-5+2\sqrt{7})\)
\((3-\sqrt{7})=(-5+2\sqrt{7})*1+(8-3\sqrt{7})\)
\((-5+2\sqrt{7})=(8-3\sqrt{7})*4+(-37+14\sqrt{7})\)
\((8-3\sqrt{7})=(-37+14\sqrt{7})*1+(45-17\sqrt{7})\)

Podobno se zgodi tudi pri \(\sqrt{2}\), ne dobim istih ostankov.

[Aniviller]

Hm... v bistvu vse kar moras delat je ostanek dat na minus ena, pogledat celi del, ga odstet in ponovit postopek.

\(\sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2)\)
\(2+\frac{1}{({\sqrt{7}+2)}/3}\)
\(2+\frac{1}{1+({\sqrt{7}-1)}/3}\)
\(2+\frac{1}{1+\frac{1}{({\sqrt{7}+1)}/2}}\)
\(2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+({\sqrt{7}-1)}/2}}\)
\(2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{({\sqrt{7}+1)}/3}}}\)
\(2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+({\sqrt{7}-2)}/3}}}\)
\(2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{7}+2}}}}\)
Naslednji korak je razcep \(\sqrt{7}+2=4+(\sqrt{7}-2)\), naslednji clen bo pa razcepljal \(\sqrt{7}-2\), kar je pa ze narejeno z zadnjim clenom prve vrstice.

[delta]

Ugotovila:), najlepša hvala!

[juve]

Zdravo.
mene pa zanima kako določiš vrednost takega verižnega ulomka : <3;1,1,1,2> kjer se zadnja 3 števila ponavljajo?? Bi bilo pravilno takole : \(x=3+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+x}}}}\) in potem razrešim?

[Aniviller]

Ce se samo zadnja 3 ponavljajo, potem ne... periodicni del posebej razresi in ga potem vstavi v celoten izraz.

[delta]

Reši:\(\phi{n}=10\). Največja možna praštevila so: 2,3,5,7,11. 5 in 7 ne moreta biti, ker 4 ne deli 10 in ker 6 ne deli 10. Povedali smo še, da z različnimi potencami 2 nikoli ne dobimo 5. Zakaj bi morali dobiti ravno z različnimi potencami 2? ne razumem. Kako bi rešili to nalogo?

[Aniviller]

Ce mislis Eulerjevo funkcijo, si jo najlazje razlagas tako, da je enostavno enaka osnovnemu stevilu, pri cemer vsak prafaktor zmanjsas za 1 (pri ponovljenih samo enega, ostale pustis pri miru).
Vrednost lahko interpretiras bodisi kot
10
bodisi kot
2*5
V prvem primeru ves, da je resitev n=11. Pri tem lahko dodas se en faktor 2, ker ce je samo ena dvojka, imas samo faktor (2-1), ki ne spremeni nicesar. Torej je resitev tudi n=22.
V drugem primeru je pa tako: dvojko bi lahko upravicil. 5 pa ne more pridet od nikoder. Ce bi 5 prisla od enojnega prafaktorja, bi moral biti 6 prafaktor, ampak ni. Pridelas jo lahko le od dvojnega prafaktorja ( fi(5^2)=5*4=20) kar pa ze prekoraci vrednost 10. Tako da ta interpretacija je nesmiselna.

Torej, resitvi sta 11 in 22.

[juve]

Kako pa potem recimo rešiš primer \(\phi(n)=\frac{2n}{5}\)?? ali pa primer \(\tau(n)=21\)?

[Aniviller]

Kot prvo, n mora biti ocitno deljiv s 5. Recimo, da je \(n=5^m k\), kjer je m>0 in k nima faktorjev 5. Potem velja
\(\phi(n)=4\cdot 5^{m-1} \phi(k)=2\cdot 5^{m-1} k\)
Oziroma
\(2\phi(k)=k\)
To velja pa samo za k=2^p, p>0. Resitev je torej \(n=2^p 5^m\) pri pozitivnih p in m.

Na tau se pa ne spoznam.

[juve]

aha mislim da razumem, kaj potem je pravilno rešitev za \(\phi(n)=\frac{2n}{7}\) tale: \(n=7^k*2*3^l\) za k,l>0?

[Aniviller]

Mislim, da ima tudi dvojka poljubno potenco. V bistvu gres po vrsti:
\(\phi(n)=\frac{2n}{7}\)
\(n=7^k n'\)
\(6\cdot 7^{k-1} \phi(n')=2\cdot 7^{k-1} n'\)
\(\phi(n')=\frac{n'}{3}\)
To je isto sranje kot prej, samo da je imenovalec drug:
\(n'=3^l n''\)
\(2\cdot 3^{l-1}\phi(n'')=3^{l-1}n''\)
\(\phi(n'')=\frac{n''}{2}\)
In to je spet isto sranje, z novim imenovalcem,
\(n'''=2^q n''''\)
\(1\cdot 2^{q-1}\phi(n'''')=2^{q-1}n''''\)
\(\phi(n'''')=n''''\)
Ko prides do tega, ves da je resitev n''''=1.

V bistvu je postopek popolnoma rutinski, samo ponavljas dokler ne prides do konca. Ves tudi, da ce ne prides do phi(n)=n ampak ti ostanejo faktorji na desni, ki se jih ne mores znebit, ves da ni resitve.