Neumno vprašanje:)
Verjetnost običajno izračunamo:št. ugodnih/št. vseh možnih.
Imamo nalogo:
V posodi imamo 5 belih, 4 črne in 3 rdeče kroglice. Zanima nas verjetnost, da vlečemo po 1 kroglico vsake barve
Rešimo:
ugodni:(5 nad 1)*(4 nad 1)*(3 nad 1)
vsi:(12 nad 3)
zakaj uporabimo kombinacije? ali je to, če ne vračamo? kdaj uporabimo kombinacije in kdaj 'samo' št. vseh ugodnih/ vsi
če vračamo, vrstni red je pomemben:
ugodni: 5*4*3*3!
vsi: 12^3
kako si v drugem primeru zagotovimo, da le eno kroglico bele barve, eno črne in eno rdeče?
Verjetnost
Re: Verjetnost
Imamo nalogo:
7 moških, 5 žensk, razporediti jih moramo v šotore: dva šotora po 3 osebe in trije šotori po 2 osebi.
a) ni omejitev
b) v šotoru le osebe istega spola
c) v šotoru vsaj en moški in ena ženska
Pri b) dobim:(7 nad 3)(5 nad 3)(4 nad 2), rešitev naj bi bila še ve pomnoženo s 3 in 2, zakaj? Prosim, lahko kdo razloži? lp
7 moških, 5 žensk, razporediti jih moramo v šotore: dva šotora po 3 osebe in trije šotori po 2 osebi.
a) ni omejitev
b) v šotoru le osebe istega spola
c) v šotoru vsaj en moški in ena ženska
Pri b) dobim:(7 nad 3)(5 nad 3)(4 nad 2), rešitev naj bi bila še ve pomnoženo s 3 in 2, zakaj? Prosim, lahko kdo razloži? lp
Re: Verjetnost
Slučajni spremenljivki \(X\) in \(Y\) sta neodvisni in porazdeljeni enako eksponentno, t.j. z gostoto:
\(f(n) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & \text{sicer}
\end{cases}\)
Določite porazdelitev slučajne spremenljivke \(Z:= \dfrac{X}{X+Y}\)
Prvi korak h rešitvi je ta izraz spodaj, v katerem mi pa ni jasno iz kje pride člen \(\dfrac{x}{z^2}\)
\(p_Z(z)=\int\limits_{0}^{\infty} p(x)p(\frac{x}{z}-x)\dfrac{x}{z^2} dx\)
Hvala za odgovor.
\(f(n) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & \text{sicer}
\end{cases}\)
Določite porazdelitev slučajne spremenljivke \(Z:= \dfrac{X}{X+Y}\)
Prvi korak h rešitvi je ta izraz spodaj, v katerem mi pa ni jasno iz kje pride člen \(\dfrac{x}{z^2}\)
\(p_Z(z)=\int\limits_{0}^{\infty} p(x)p(\frac{x}{z}-x)\dfrac{x}{z^2} dx\)
Hvala za odgovor.
Re: Verjetnost
Sem že našel odgovor. \(p_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_X_,_Y(x,g(x,z))|\frac{\partial g}{\partial z}(x,z)|dx\)
Re: Verjetnost
Realna slučajna spremenljivka je definirana:
Def.: Realna slučajna spremenljivka na verjetnostnem prostoru \((\Omega,F,P)\) je realna fja \(X: \Omega-> \mathbb{R}\) z lastnostjo, da je za \(\forall x \in \mathbb{R}\) množica \(\{\omega \in \Omega:X(\omega)<=x\}=(X<=x)\) dogodek, torej v F. Ne razumem kaj nam pomeni (X<=x).
Naloga:
Pošteno kocko mečemo, dokler ne pade 6. Če je bilo število metov sodo, kolikšna je verjetnost, da je šestica padla pri šestem metu?
Kako smo za sode dobili:
\(P(A_{s})=\sum_{k=0}^{\infty}P(X=2k)=\sum_{k=0}^{\infty}pq^{2k+1}\)
Lepo prosim za pomoč.
Def.: Realna slučajna spremenljivka na verjetnostnem prostoru \((\Omega,F,P)\) je realna fja \(X: \Omega-> \mathbb{R}\) z lastnostjo, da je za \(\forall x \in \mathbb{R}\) množica \(\{\omega \in \Omega:X(\omega)<=x\}=(X<=x)\) dogodek, torej v F. Ne razumem kaj nam pomeni (X<=x).
Naloga:
Pošteno kocko mečemo, dokler ne pade 6. Če je bilo število metov sodo, kolikšna je verjetnost, da je šestica padla pri šestem metu?
Kako smo za sode dobili:
\(P(A_{s})=\sum_{k=0}^{\infty}P(X=2k)=\sum_{k=0}^{\infty}pq^{2k+1}\)
Lepo prosim za pomoč.
Re: Verjetnost
Zanima me, kako se reši.
1. Slučajna spremenljivka U je porazdeljena zvezno enakomerno na intervalu (0,1). Označimo z D prvo števko v standardnem decimalnem zapisu števila 1/U. Zapišite porazdelitev te slučajne spremenljivke.
2. Slučajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in porazdeljeni eksponentno \(Exp(\lambda)\), t.j. z gostoto:
\(f(x)=\{\lambda e^{-\lambda x}, za x>0;\) 0, sicer
Določite porazdelitev slučajne spremenjivke \(Z=\frac{X}{2X+y}\).
3. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena zvezno s kumulativno porazdelitveno funkcijo \(F_{X}=e^{-e^{-x}}\). Izračunajte \(E(e^{X/2})\)
1. Slučajna spremenljivka U je porazdeljena zvezno enakomerno na intervalu (0,1). Označimo z D prvo števko v standardnem decimalnem zapisu števila 1/U. Zapišite porazdelitev te slučajne spremenljivke.
2. Slučajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in porazdeljeni eksponentno \(Exp(\lambda)\), t.j. z gostoto:
\(f(x)=\{\lambda e^{-\lambda x}, za x>0;\) 0, sicer
Določite porazdelitev slučajne spremenjivke \(Z=\frac{X}{2X+y}\).
3. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena zvezno s kumulativno porazdelitveno funkcijo \(F_{X}=e^{-e^{-x}}\). Izračunajte \(E(e^{X/2})\)
Re: Verjetnost
1. Ce gre za prvo stevko, ves, da cim preskocis na faktor 10, se vse skupaj ponovi. Torej, porazdelitev prve stevke za [0,1] je enaka porazdelitvi prve stevke za intervale
[0.1,1]
[0.01,0.1]
[0.001,0.01]
itd...
Zdaj ves, da dobis enko za interval
(1/2,1]
dvojko za
(1/3,1/2]
in tako naprej. Verjetnost je torej (z normalizacijsko konstanto A)
\(P(n)=A(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{A}{n(n+1)}\)
Po drugi strani je
\(\sum_{n=1}^9 P(n)=A(1-\frac{1}{10})=A\frac{9}{10}\)
se pravi
\(P(n)=\frac{10}{9}\frac{1}{n(n+1)}\)
2. Porazdelitve pisi kot integrale, pa bo vse jasno. Porazdelitev po x in y:
\(\int_0^\infty \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\)
Zdaj moras zamenjat spremenljivke. Recimo, ce menjas iz (x,y) na (x,z), imas funkciji x=x in z=x/(2x+y) in dobis Jakobijana
\(J^{-1}=\begin{vmatrix}1&0\\ \frac{y}{(2x+y)^2} &-\frac{x}{(2x+y)^2}\end{vmatrix}=-\frac{x}{(2x+y)^2}=-\frac{z^2}{x}\)
od koder dobis |J|=x/z^2.
Integral postane (pazi tudi na menjavo mej)
\(\int_0^{1/2} \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}|J|\,{\rm d}x\,{\rm d}z\)
pa se y moras izrazit:
\(\int_0^{1/2} \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda (x/z-2x)}\frac{x}{z^2}\,{\rm d}x\,{\rm d}z\)
Zdaj integriras po x in kar ostane, je porazdelitev po z.
3. Racunas \(\int_{-\infty}^\infty e^{x/2}\frac{dF}{dx}{\,\rm d}x\)
[0.1,1]
[0.01,0.1]
[0.001,0.01]
itd...
Zdaj ves, da dobis enko za interval
(1/2,1]
dvojko za
(1/3,1/2]
in tako naprej. Verjetnost je torej (z normalizacijsko konstanto A)
\(P(n)=A(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{A}{n(n+1)}\)
Po drugi strani je
\(\sum_{n=1}^9 P(n)=A(1-\frac{1}{10})=A\frac{9}{10}\)
se pravi
\(P(n)=\frac{10}{9}\frac{1}{n(n+1)}\)
2. Porazdelitve pisi kot integrale, pa bo vse jasno. Porazdelitev po x in y:
\(\int_0^\infty \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\)
Zdaj moras zamenjat spremenljivke. Recimo, ce menjas iz (x,y) na (x,z), imas funkciji x=x in z=x/(2x+y) in dobis Jakobijana
\(J^{-1}=\begin{vmatrix}1&0\\ \frac{y}{(2x+y)^2} &-\frac{x}{(2x+y)^2}\end{vmatrix}=-\frac{x}{(2x+y)^2}=-\frac{z^2}{x}\)
od koder dobis |J|=x/z^2.
Integral postane (pazi tudi na menjavo mej)
\(\int_0^{1/2} \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}|J|\,{\rm d}x\,{\rm d}z\)
pa se y moras izrazit:
\(\int_0^{1/2} \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda (x/z-2x)}\frac{x}{z^2}\,{\rm d}x\,{\rm d}z\)
Zdaj integriras po x in kar ostane, je porazdelitev po z.
3. Racunas \(\int_{-\infty}^\infty e^{x/2}\frac{dF}{dx}{\,\rm d}x\)
Re: Verjetnost
Če imamo števila {2,3,6,8,11}in vzemamo vzorce po \(n=2\).
Možnih je torej \(n^{5}=25\) izzidov, torej: {2,2},{2,3},{2,6}, ...
Po formuli \(S^{2}=\frac{1}{n}\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}\) izračunamo vzročno varianco. Bi mi znal kdo pojasnit simbole v tej formuli? Kaj je \(\bar{x}\), \(x_{i}\)... ?
Prosim in najlepša hvala!
Možnih je torej \(n^{5}=25\) izzidov, torej: {2,2},{2,3},{2,6}, ...
Po formuli \(S^{2}=\frac{1}{n}\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}\) izračunamo vzročno varianco. Bi mi znal kdo pojasnit simbole v tej formuli? Kaj je \(\bar{x}\), \(x_{i}\)... ?
Prosim in najlepša hvala!
Re: Verjetnost
Vzorčno varianco se računa za posamezen vzorec.
Re: Verjetnost
Super, hvala! Pomembna informacija!shrink napisal/-a:Vzorčno varianco se računa za posamezen vzorec.
Še eno vprašanje na temo vzorcev:
Za stolček so potegujeta dva kandidata. Strici iz ozadja so ti povedali, da drugi kandidat uživa 45% podporo ljudstva. 200 naključno izbranih ljudi anketiraš kateri je njihov kandidat. Zanima te kolikšna sta povprečje in standardna deviacija podpornikov drugega kandidata ter kolikšna je verjetnost, da ga bo podprla večina?
Samo s standardno deviacijo imam probleme. Tule men namreč piše, da je le ta: \(S=\sqrt{200\cdot 0,45\cdot (1-0,45)}\).
Razumem prvi del enačbe, kjer množimo z verjetnostjo, da bo naključno izbrana oseba tudi podpornik drugega kandidata (\(200\cdot 0,45\)). Ne vem pa zakaj potem odštejem še \(200\cdot 0,45^{2}\)? Kaj je to?
Hvala Shrink!
Re: Verjetnost
V tem primeru gre očitno za binomsko porazdelitev. Cenilka populacijske variance \(\sigma^2\), ki ustreza taki porazdelitvi, je vzorčna varianca \(S^2\):skrat napisal/-a:Super, hvala! Pomembna informacija!shrink napisal/-a:Vzorčno varianco se računa za posamezen vzorec.
Še eno vprašanje na temo vzorcev:
Za stolček so potegujeta dva kandidata. Strici iz ozadja so ti povedali, da drugi kandidat uživa 45% podporo ljudstva. 200 naključno izbranih ljudi anketiraš kateri je njihov kandidat. Zanima te kolikšna sta povprečje in standardna deviacija podpornikov drugega kandidata ter kolikšna je verjetnost, da ga bo podprla večina?
Samo s standardno deviacijo imam probleme. Tule men namreč piše, da je le ta: \(S=\sqrt{200\cdot 0,45\cdot (1-0,45)}\).
Razumem prvi del enačbe, kjer množimo z verjetnostjo, da bo naključno izbrana oseba tudi podpornik drugega kandidata (\(200\cdot 0,45\)). Ne vem pa zakaj potem odštejem še \(200\cdot 0,45^{2}\)? Kaj je to?
Hvala Shrink!
\(S^2=npq\), kjer je \(p+q=1\).
Izraz za varianco binomsko porazdeljene slučajne spremenljivke je pa načeloma izpeljan v vsakem učbeniku, glej recimo to izpeljavo:
http://www.math.ubc.ca/~feldman/m302/binomial.pdf