Ce razcepljas na faktorje (kar je v bistvu iskanje nicel), potem gres takole:
Prvi primer enostavno razcepis kot razliko kvadratov kolikorkrat se pac da:
\(x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\)
Drugega najprej poenostavis z menjavo spremenljivke x^2=y, da bo bolj pregledno (na koncu lahko nazaj zamenjas):
\(2y^4-5y^3+5y-2\)
To je se vedno cetrte stopnje in ne tako enostavno resit. Lahko pa zaradi podvojenih koeficientov z nasprotnimi predznaki uganes, da je y=1 ena izmed resitev. Deljenje polinomov ti potem pove
\(2y^4-5y^3+5y-2=(y-1)(2y^3-3y^2-3y+2)\)
Tukaj na podoben nacin uganes resitev -1 (iz simetrije)
\(=(y-1)(y+1)(2y^2-5y+2)\)
preostanek lahko preveris ce se da razbit po kvadratni enacbi, ali pa enostavno uganes razcep (nicli sta 2 in 1/2). Nasploh se splaca za 1 in -1 vedno pogledat, ce sta nicli.
Zadnja: izpostavi x pa imas kvadratni polinom, ki ga razcepis kakor zelis.
Matematika
-
andreja995
- Prispevkov: 274
- Pridružen: 6.5.2012 9:54
Re: Matematika
izraze je potrebno razcepiti v realnem
Re: Matematika
No potem sem ti ze navedel rezultat.
-
andreja995
- Prispevkov: 274
- Pridružen: 6.5.2012 9:54
Re: Matematika
Kako pa naj se lotim razcepa primera kot npr. x^3-2x-1; ne vem kaj naj naredim oz. kako naj začnem
Prosila bi vas, če mi lahko prosim razložite kako pri primeru x^4+x^2+1 dobim rezultat (x^2-x+1)(x^2+x+1); primer imam sicer rešen v učbeniku, a ne vem kako naj bi prišli do tega
Prosila bi vas, če mi lahko prosim razložite kako pri primeru x^4+x^2+1 dobim rezultat (x^2-x+1)(x^2+x+1); primer imam sicer rešen v učbeniku, a ne vem kako naj bi prišli do tega
Re: Matematika
1) Pri kubicnih enacbah sicer obstajajo obrazci tako kot za kvadratno, ampak tisto je zoprno in prakticno neuporabno in ni misljeno da uporabis. V teh primerih ti res ugibanje se najbolj prav pride. Vedno se splaca preverit 1,-1,2,-2 in mogoce se kaksno stevilko, ki se ponuja glede na koeficiente. V tem primeru pri x=-1 vidis da se izide, potem ko pa delis polinom z (x+1), ostane kvadratna enacba, ki jo pa znas naprej razcepit.
2) No, tukaj je vec nacinov - uganit je tezko... lahko gres nasilno: ce uvedes y=x^2, dobis kvadratno enacbo, ki pa ima kompleksne resitve. Ampak potem, ko jih se korenis, da dobis x, dobis 4 resitve, ki pa se izgleda dajo grupirat na drugacen nacin (zmnozis po dva kompleksna clena s konjugirano kompleksnimi resitvami, da dobis nekaj realnega nazaj).
Manj nasilna moznost pa je, da prepoznas clen (1+y+y^2) kot geometrijsko vrsto, \(\frac{1-y^3}{1-y}\). Oziroma na drug nacin, prepoznas (1+y+y^2) kot drugi clen razstavljanja razlike kubov. Torej, imamo
\(1+x^2+x^4=\frac{1-x^6}{1-x^2}\)
Ampak zdaj pa lahko imenovalec razstavis kot razliko kvadratov, namesto kubov.
\(\frac{(1-x^3)(1+x^3)}{1-x^2}=\frac{(1-x)(1+x+x^2)(1+x)(1-x+x^2)}{1-x^2}\)
Zdaj se pa lepo pokrajsa in dobis polinom nazaj.
Pri teh nalogah gre v bistvu za trening prepoznavanja vzorcev - vse razlicne trike in razcepe, ki te jih ucijo ze od osnovne sole naprej, se navadis uporabit in prepoznat, kateri prav pride.
2) No, tukaj je vec nacinov - uganit je tezko... lahko gres nasilno: ce uvedes y=x^2, dobis kvadratno enacbo, ki pa ima kompleksne resitve. Ampak potem, ko jih se korenis, da dobis x, dobis 4 resitve, ki pa se izgleda dajo grupirat na drugacen nacin (zmnozis po dva kompleksna clena s konjugirano kompleksnimi resitvami, da dobis nekaj realnega nazaj).
Manj nasilna moznost pa je, da prepoznas clen (1+y+y^2) kot geometrijsko vrsto, \(\frac{1-y^3}{1-y}\). Oziroma na drug nacin, prepoznas (1+y+y^2) kot drugi clen razstavljanja razlike kubov. Torej, imamo
\(1+x^2+x^4=\frac{1-x^6}{1-x^2}\)
Ampak zdaj pa lahko imenovalec razstavis kot razliko kvadratov, namesto kubov.
\(\frac{(1-x^3)(1+x^3)}{1-x^2}=\frac{(1-x)(1+x+x^2)(1+x)(1-x+x^2)}{1-x^2}\)
Zdaj se pa lepo pokrajsa in dobis polinom nazaj.
Pri teh nalogah gre v bistvu za trening prepoznavanja vzorcev - vse razlicne trike in razcepe, ki te jih ucijo ze od osnovne sole naprej, se navadis uporabit in prepoznat, kateri prav pride.
-
andreja995
- Prispevkov: 274
- Pridružen: 6.5.2012 9:54
Re: Matematika
Torej lahko pri polinomih tretje in večinoma višje stopnje delim z x-nekaj in potem računam naprej?
Re: Matematika
Ja, cim najdes eno niclo (dobis clen, s katerim je tvoj polinom deljiv), lahko delis in ostali del naprej razcepis.
-
katarina123
- Prispevkov: 8
- Pridružen: 2.4.2013 16:53
Re: Matematika
Živjo!
Jutri moram oddati domačo nalogo iz matematike, z njo se trudim že več dni, a mi nekako ne uspe, saj mi matematika res ne leži. Ali bi mi lahko kdo rešil naloge ali pa vsaj dal par namigov?
http://www.fkkt.uni-lj.si/attachments/dsk9921/dn_01.pdf
Potrebujem rešitve 3, 6 in 7 naloge. Hvala!
Jutri moram oddati domačo nalogo iz matematike, z njo se trudim že več dni, a mi nekako ne uspe, saj mi matematika res ne leži. Ali bi mi lahko kdo rešil naloge ali pa vsaj dal par namigov?
http://www.fkkt.uni-lj.si/attachments/dsk9921/dn_01.pdf
Potrebujem rešitve 3, 6 in 7 naloge. Hvala!
Re: Matematika
3.
V imenovalcu vidis, da bo treba razvit najmanj do 3. clena (prvi clen razvoja sinusa je 3x, ki se bo odstel s tistim spredaj, drugi je itak 0, torej je tretji prvi nenicelni). V stevcu uporabis \(e^x= 1+x+x^2/2+x^3/3!+\cdots\), za logaritem uporabis znano vrsto
\(\log (1+x)= x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+\cdots\)
oziroma v nasem primeru, ker imas za "majhno stvar" -x^2, namesto x, dobis
\(\log (1-x^2)= -x^2-x^4/2-x^6/3+\cdots\)
Ce to zmeces skupaj, dobis v prevm clenu v stevcu -x+visji cleni, drugi clen v stevcu pa postane -x^2+visji cleni. Naprej ne bo problem.
6.
Tukaj moras verjetno nekaj predpostavit o rasti morskih psov. Brez tega podatka nimas kaj. Ena varianta je, da grobo predpostavis, da morski pes raste enakomerno dokler ne doseze maksimalne dolzine, potem pa na hitro neha rast. V tem primeru skozi prva dva podatka (rojstvo in 1 leto) potegnes premico in "odcitas" kdaj pride do 4m. Po domace: v enem letu je zrasel za 1m, in ce nadaljuje z isto hitrostjo, bo 4m dolg, ko bo star 3.5 let.
Seveda verjetno morski psi ne rastejo na ta nacin.
7.
Metoda ostrega pogleda ti razkrije, da imas v prvem clenu nekaj, kar izgleda sumljivo podobno kot odvod od y^3. Ker ta isti izraz nastopa tudi v drugem clenu, je pametno menjat spremenljivko:
\(u=y^3\)
\(u'+\frac{u}{x}=\cos x\)
Najprej se lahko lotis homogenega dela enacbe. To lahko resis s separacijo spremenljivk, in dobis rezultat \(u=\frac{C}{x}\). Za partikularni del se lotis variacije konstante, \(u=\frac{C(x)}{x}\), vstavis noter,
\(\frac{C'(x)x-C(x)}{x^2}+\frac{C(x)}{x^2}=\cos x\)
\(C'(x)=x\cos x\)
To nedoloceno integriras (s prirocnikom ali per partes), da dobis C(x), z zacetnim pogojem pa dolocis se integracijsko konstanto. Pa ne pozabi, da je u=y^3, tako da za koncni rezultat manjka se tretji koren.
V imenovalcu vidis, da bo treba razvit najmanj do 3. clena (prvi clen razvoja sinusa je 3x, ki se bo odstel s tistim spredaj, drugi je itak 0, torej je tretji prvi nenicelni). V stevcu uporabis \(e^x= 1+x+x^2/2+x^3/3!+\cdots\), za logaritem uporabis znano vrsto
\(\log (1+x)= x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+\cdots\)
oziroma v nasem primeru, ker imas za "majhno stvar" -x^2, namesto x, dobis
\(\log (1-x^2)= -x^2-x^4/2-x^6/3+\cdots\)
Ce to zmeces skupaj, dobis v prevm clenu v stevcu -x+visji cleni, drugi clen v stevcu pa postane -x^2+visji cleni. Naprej ne bo problem.
6.
Tukaj moras verjetno nekaj predpostavit o rasti morskih psov. Brez tega podatka nimas kaj. Ena varianta je, da grobo predpostavis, da morski pes raste enakomerno dokler ne doseze maksimalne dolzine, potem pa na hitro neha rast. V tem primeru skozi prva dva podatka (rojstvo in 1 leto) potegnes premico in "odcitas" kdaj pride do 4m. Po domace: v enem letu je zrasel za 1m, in ce nadaljuje z isto hitrostjo, bo 4m dolg, ko bo star 3.5 let.
Seveda verjetno morski psi ne rastejo na ta nacin.
7.
Metoda ostrega pogleda ti razkrije, da imas v prvem clenu nekaj, kar izgleda sumljivo podobno kot odvod od y^3. Ker ta isti izraz nastopa tudi v drugem clenu, je pametno menjat spremenljivko:
\(u=y^3\)
\(u'+\frac{u}{x}=\cos x\)
Najprej se lahko lotis homogenega dela enacbe. To lahko resis s separacijo spremenljivk, in dobis rezultat \(u=\frac{C}{x}\). Za partikularni del se lotis variacije konstante, \(u=\frac{C(x)}{x}\), vstavis noter,
\(\frac{C'(x)x-C(x)}{x^2}+\frac{C(x)}{x^2}=\cos x\)
\(C'(x)=x\cos x\)
To nedoloceno integriras (s prirocnikom ali per partes), da dobis C(x), z zacetnim pogojem pa dolocis se integracijsko konstanto. Pa ne pozabi, da je u=y^3, tako da za koncni rezultat manjka se tretji koren.
-
katarina123
- Prispevkov: 8
- Pridružen: 2.4.2013 16:53
Re: Matematika
Hvala, mi je že bolj jasno. Čeprav naloga o morskem psu se mi zdi malo sumljiva, kot za osnovno šolo.
Re: Matematika
No pa ravno morski pes je najbolj sumljiv - odvisno je od predpostavk, in razen ce si ekspert za morske pse, in imas iz prakticnih meritev izpeljan kaksen poenostavljen model (zakon, ki mu rast morskih psov priblizno sledi), niti ni prave resitve. Po moje je to nekdo malo nespametno sestavljal (predpostavil neko zadevo, ki se mu je zdela edina moznost, v resnici pa ni). Lahko bi predpostavili tudi eksponentno priblizevanje koncni velikosti (ali alternativno, kaksno potencno zvezo)... kdo ve kaj je misljeno. Ze tri najbolj enostavne funkcije ki si jih lahko zamislim in ustrezajo danim pogojem, so cisto drugacne:
-
katarina123
- Prispevkov: 8
- Pridružen: 2.4.2013 16:53
Re: Matematika
Ja, to je res. Vzela sem kar predpostavko, da raste enakomerno, vsako leto en meter, zdaj pa bom videla, če bodo z mojo rešitvijo zadovoljni.
Re: Matematika
Zdravo
Zanima me, kako bi lahko ziintegriral
\(\int{\dfrac{1}{\sqrt{\cos(x)+\cos^2(x)}} dx}\).
Hvala vnaprej
Zanima me, kako bi lahko ziintegriral
\(\int{\dfrac{1}{\sqrt{\cos(x)+\cos^2(x)}} dx}\).
Hvala vnaprej
Re: Matematika
Ce napades s substitucijo u=cos(x), se znebis kotnih funkcij in imas pac neke korene. Pretirano lepo ne more bit, korenjenec ima negativne dele in funkcija bo obupna.